专题03 等式与不等式的性质-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题03等式与不等式的性质 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：比较两个数(式)的大小 题型二：不等式的性质 题型三：应用性质判断不等式是否成立 题型四：求代数式的取值范围 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2.理解不等式的概念. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 【考点预测】 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 【常用结论】 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔<. 【方法技巧】 1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 5.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： 一是必须严格运用不等式的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 二、【题型归类】 【题型一】比较两个数(式)的大小 【典例1】若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q 【解析】p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q； 若a≠b，则p－q<0，故p<q. 综上，p≤q. 故选B. 【典例2】已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　) A．a>b>c B．c>a>b C．c>b>a D．a>c>b 【解析】a5＝5a，即＝， b4＝4b，即＝， c3＝3c，即＝， 设f(x)＝， 则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)， f′(x)＝(x>0)， 当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减， 当0<x<e时， f′(x)>0，f(x)＝单调递增， 因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)， f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)， 所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)<f(4)<f(3)， 所以f(a)<f(b)<f(c)，a<b<c. 故选C. 【典例3】已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________ 【解析】方法一　M－N＝－ ＝ ＝ ＝>0. ∴M>N. 方法二　令f(x)＝ ＝＝＋， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N. 【题型二】不等式的性质 【典例1】若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 【解析】由c＜d＜0⇒－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－＞－＞0，所以＜.故选D. 【典例2】下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a<b<0，则a2<ab<b2 C．若c>a>b>0，则< D．若a>b>c>0，则> 【解析】对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题； 对于B选项，当a＝－3，b＝－2时，满足a<b<0，但不满足a2<ab<b2，故B选项为假命题； 对于C选项，当c＝3，a＝2，b＝1时，＝>＝，故C选项为假命题； 对于D选项，由于a>b>c>0，所以－＝＝＝>0，即>，故D选项为真命题．故选D. 【典例3】(多选)若<<0，则下列不等式