专题02 常用逻辑用语-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题02常用逻辑用语 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：充分、必要条件的判定 题型二：由充分条件、必要条件求参数的范围 题型三：充要条件的探求与证明 题型四：全称量词与存在量词 题型五：命题中参数的取值范围 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定. 【考点预测】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒ p p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 3.全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，非p(x) ∀x∈M，非p(x) 【常用结论】 1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒ A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同. 2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. (3)若A＝B，则p是q的充要条件. 3.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件. 4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定. 6.命题p和非p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假. 【方法技巧】 1.充分条件、必要条件的两种判定方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 3.量词的否定注意事项 (1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论. (2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可. (3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与非p的关系，转化成非p的真假求参数的范围. 二、【题型归类】 【题型一】充分、必要条件的判定 【典例1】已知p：x<1，q：log2x<0，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由x<1知x>0，所以p对应的x的范围为(0，＋∞)， 由log2x<0知0<x<1， 所以q对应的x的范围为(0,1)， 显然(0,1)是(0，＋∞)的真子集， 所以p是q的必要不充分条件．故选B. 【典例2】等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．故选B. 【典例3】在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC