专题10 指数与指数函数-2024年新高考数学一轮复习讲义之题型归类与强化测试（新高考专用）

专题10指数与指数函数 知识梳理 考纲要求 考点预测 常用结论 方法技巧 题型归类 题型一：指数幂的运算 题型二：指数型复合函数的定义域和值域 题型三：指数函数的图象及应用 题型四：比较指数式的大小 题型五：解简单的指数方程或不等式 题型六：指数函数性质的综合应用 培优训练 训练一： 训练二： 训练三： 训练四： 训练五： 训练六： 强化测试 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 一、【知识梳理】 【考纲要求】 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用. 【考点预测】 1.根式的概念及性质 (1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③()n＝a(n∈N*，且n>1). ④＝a(n为大于1的奇数). ⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R. 4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 【常用结论】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. 3.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大. 【方法技巧】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 6.比较指数式的大小的方法是： (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 二、【题型归类】 【题型一】指数幂的运算 【典例1】(a>0，b>0)＝________. 【解析】原式＝＝. 【典例2】若＋＝3(x>0)，则＝________. 【解析】由＋＝3， 两边平方，得x＋x－1＝7， 再平方得x2＋x－2＝47， ∴x2＋x－2－2＝45. ＋＝＋ ＝(x－1＋x－1) ＝3×(7－1)＝18. ∴＝. 【典例3】已知a>0，则化为(　　) A． B． C． D． 【解析】原式＝＝ ＝＝.故选B. 【题型二】指数型复合函数的定义域和值域 【典例1】求下列函数的定义域和值域． (1)y＝；　　(2)y＝； (3)y＝. 【解析】(1)定义域为R.因为－|x＋1|≤0， 所以y＝≥＝1，所以值域为[1，＋∞)． (2)定义域为R.又因为y＝＝1－，而0＜＜1，所以－1＜－＜0，则0＜y＜1，所以值域为(0，1)． (3)令－x2－3x＋4≥0，解得－4≤x≤1，所以函数y＝的定义域为[－4，1]．设u＝(－4≤x≤1)，易得u在x＝－时取得最大值，在x＝－4或1时取得最小值0，即0≤u≤.所