第03讲 三角函数和解三角形-2023届高考数学《考点·题型·密卷》三轮冲刺精讲精练（新高考地区专用）

第03讲 三角函数和解三角形 【考点归纳】 考点一：三角函数的基本公式 1．（2023·内蒙古包头·二模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合倍角公式求，再根据同角三角关系“知一求二”. 【详解】由题意可得：， 即，解得或， ∵，则，故， 可得， 所以. 故选：B. 2．（2023春·河南郑州·高三校考期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及二倍角公式公式得到，再将弦化切，求出，最后利用两角差的正切公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，解得或， 因为，所以， 所以 . 故选：D 3．（2023·青海·校联考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式得到，两边平方得到的值，再根据诱导公式进一步运算得到结果. 【详解】因为，所以， 两边平方得，则， 故． 故选：C. 考点二：三角函数的性质 4．（2023·河南周口·统考模拟预测）已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象.则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的余弦公式和辅助角公式求出函数的解析式，由三角函数图象的平移伸缩变换求出函数的解析式，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】， 因为函数图象的相邻两个对称中心的距离为， 所以，得，又，所以， 则. 将函数图象上的点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)， 得， 由，得， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，得， 即函数在上的值域为. 故选：C. 5．（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）将函数图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，并沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象．若的图象关于点对称，则函数在上零点的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数图象变换规律可得，然后根据三角函数的性质可得，再利用正弦函数的图象和性质结合条件即得. 【详解】将图象所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象， 继续沿x轴向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的图象， ∵的图象关于点对称，得，． 又∵，∴，∴． 令，当时，有， 由，可得，， 结合函数的图象可得，在上只有2个解， 即函数在上零点的个数是2． 故选：B. 6．（2023·新疆·校联考二模）若函数在区间上的三个零点为，，，且，且，则下列结论：（   ） ①的最小正周期为；                 ②在区间有3个极值点； ③在区间上单调递增；         ④为函数离原点最近的对称中心． 其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先利用条件求出，再利用三角函数的图像与性质，以及的零点、极值点，逐一对各个选项分析判断即可得到结果． 【详解】令，则由，得， 所以，由，得到 如图，由的图像与性质知，，， 即 化简得， 将代入得，所以，故①正确； 对于②，因为， 由的图像与性质知，函数的极值点，即函数的最值点， 所以由，得到， 又因为，所以或， 所以在区间上有且仅有2个极值点，故②错误； 对于③，由，，得，所以在上单调递增，在上单调递减， 由，得到，由，得到， 所以在区间在上单调递增，在区间上单调递减，故③错误； 对于④，令，解得，当时，为最小， 所以函数离原点最近的对称中心为，故④错误． 故选：B． 考点三：三角恒等变换 7．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用辅助角公式化简得到分段函数形式，根据对数函数、正弦型函数性质画出图象，数形结合确定的范围或对称性，进而求的范围. 【详解】， 所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则， 不妨设，由图知：，且，即， 令，可得或，令，可得或， 所以，而在上递减，故， 综上，. 故选：A 8．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）关于函数有下述四个结论： ①不是偶函数； ②在区间上单调递增； ③的最小正周期为； ④的值域为． 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【分析】①判断，是否相等即可；②化简得，结合正弦型函数性质判断单调性；③判断，是否相等即可；④首先求得的周期为，再求一个周期内的值域即可判断. 【详解】因为，所以不是偶函数，故①正确； 当时，，因为，所以在上先增后减，故②错误； 因为不一定成立，所以的最小正周期不是，故③错误；