第02讲 导数及其应用-2023届高考数学《考点·题型·密卷》三轮冲刺精讲精练（新高考地区专用）

第02讲 导数及其应用 【考点归纳】 考点一：导数的概念和几何意义 1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C： ，（ ）的焦点为F， 为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为 ，则直线FM的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用导数几何意义表示出M坐标，结合斜率公式计算即可. 【详解】∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 由题意知， ，解得： ， 又∵M在 上， ∴ ，解得： ， ∴ ， ∴ . 故选：B. 2．（2023·河北邯郸·统考二模）已知直线 是曲线 的切线，则 （    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数 的导数，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】函数 ，求导得 ，令直线 与曲线 相切的切点为 ， 于是 且 ，所以 . 故选：B 3．（2023·广东佛山·统考二模）若斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为（    ） A． B．0 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】设直线 与曲线 的切点为 ，先根据导数的几何意义求出 在切点 处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线距离的关系列式求解即可． 【详解】设直线 与曲线 的切点为 ， 由 ，则 ， 则 ， ，即切点为 ，所以直线 为 ， 又直线 与圆 都相切，则有 ，解得 或 ． 故选：D． 考点二：导数研究函数的单调性问题 4．（2023·河南信阳·高三统考期末）已知m、n为实数， ，若 对 恒成立，则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．－1 D．3 【答案】C 【分析】求出函数的导数，判断可得 ，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得不等式，即可得到目标式大于等于一个关于 的函数表达式，构造新函数求得其最小值，可得答案. 【详解】因为 ，所以 ， 若 时，则 恒成立，所以 在 上单调递增， 时， ，显然不符合题意； 若 时，分式 无意义，不符合题意； 当 时，令 ，解得 ，当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以 ，则 ，则 ， 令 ，则 ， 易知当 时， ，当 时， ， 即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 所以 ，即 的最小值为 . 故选：C. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 5．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）若函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意转化为 ，令 ，利用导数求出 可得答案． 【详解】依题意， ，令 ，则 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ，故当 时， ， 当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，故 ，则 ， 故实数a的取值范围为 ． 故选：D. 6．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数 ， ，利用导数判断其单调性即可判断 的大小； ，可构造函数 判断 与 的大小，构造函数 判断 与 的大小，从而可判断 的大小． 【详解】令 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 令 EMBED Equation.DSMT4 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 当 时， ，则 在 上单调递增，又 ， 所以当 时， ，又 ， 所以 在 上恒成立，又 ，所以 ，即 ． 令 ，则 ， 当 时， ，所以 在 上单调递减， 所以当 时， ，即 ， 令 ，则 ， 在 上单调递减， 所以当 时， ，即 ， 所以 在 上恒成立， 令 ，则 ，所以 ， 综上所述， ． 故选：D． 考点三：利用导数研究函数的极值 7．（2023·贵州铜仁·统考二模）已知函数 和 有相同的极大值，则 （    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用导数，先求得 的极大值，然后根据 与 有相同的极大值求得 . 【详解】求导 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ 在 处取得极大值 ， ，令 ，解得 ，令 ，解得 ， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ 在 处取得极大值 ， 依据题意， 和 有相同的极大值，故 ，解得 . 故选：A 8．（2023·山东聊城·统考二模）已知函数 （ 且 ）有一个极大值点 和一个极小值点 ，且 ，则a的取值范围为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负可知 不合题意，当 时，