第01讲 函数-2023届高考数学《考点·题型·密卷》三轮冲刺精讲精练（新高考地区专用）

第01讲 函数 【考点归纳】 考点一：函数的解析式问题 1．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数的图象过点与，则函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件列方程求，由此可得函数的解析式，再由基本不等式求其最大值. 【详解】因为函数的图象过点与， 所以，，则， 解得，， 故函数的解析式为：. 而， 当且仅当时取等号， 函数在区间上的最大值为. 故选：B. 2．（2023·江苏南通·二模）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数为偶函数，则，即，① 又因为函数为奇函数，则，即，② 联立①②可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 3．（2023·陕西商洛·统考一模）若函数满足：，且，则（    ） A．2953 B．2956 C．2957 D．2960 【答案】A 【分析】法一：利用特殊函数法与待定系数法，求得满足题意的一个函数，代入即可得解. 法二：利用赋值法，得到与，进而利用换元法与作差法得到，由此得解. 【详解】法一： 取，易验证满足． 由，得，解得， 故． 法二： 因为， 令，则，； 令，则，； 两式相减得， 由的任意性，令，得， 所以． 故选：A. 考点二：函数的定义域问题 4．（2023·广东梅州·统考二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答. 【详解】集合，即， ，则，所以. 故选：B 5．（2023·重庆·统考模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的性质求集合，再应用集合的交运算求. 【详解】由，可得或，即或， 由，则，即， 所以. 故选：D 6．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解指数不等式得，再根据对数函数定义域即可得到答案. 【详解】由题意得，解得，则， 根据对数型函数定义域得， ∴． 故选：C． 考点三：值域的最值求法 7．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，例如：.已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解； 方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解； 【详解】方法一：函数， 因为，所以， 所以.所以. 所以，即. 当时，； 当时，. 故的值域为. 故选：B. 方法二：由，得. 因为，所以，解得. 当时，； 当时，. 所以的值域为. 故选：B. 8．（2023·陕西西安·统考一模）对于函数，若对任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据构成三角形的条件，只需研究该函数的最小值与最大值，只要保证，即可保证该函数为“可构成三角形的函数” ，即得答案. 【详解】由题意得，， 当时，，适合题意； 的定义域为R，则，所以是偶函数， 因为为偶函数，故只需考虑在上的范围， 当时，，此时在单调递减，故， 由题意知对任意的，恒成立， 需，此时无最小值，故需，即；. 当，在上单调递增，， 对对任意的，恒成立， 需，但此时无最大值，需，即， 综上：, 故选：B 9．（2023秋·河北邢台·高三统考期末）若，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．没有最小值 【答案】A 【分析】先将题意整理成，然后利用基本不等式可得到，最后检验是否成立即可 【详解】由，得. 因为，所以 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得, 设函数， 则由，得在上至少一个零点， 此时，故存在，使得不等式中的等号成立， 故的最小值为. 故选：A 【点睛】关键点睛：这道题关键的地方在于检验是否成立，需要构造，并结合零点存在定理进行验证 考点四：分段函数的问题 10．（2023·青海西宁·统考二模）已知实数，函数若，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件分和两种情况讨论，即可求解. 【详解】由题意，函数， 当时，由可得，即，解得； 当时，由可得，即，