第04讲 数列-2023届高考数学《考点·题型·密卷》三轮冲刺精讲精练（新高考地区专用）

第04讲 数列 【考点归纳】 考点一：通项公式的问题 1．（2023·上海青浦·统考二模）已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案. 【详解】当时，， 所以， 易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增， 又当为正偶数时，存在，即， 所以，此时有，所以， 又对于任意的正奇数，，即， 所以或恒成立，所以或， 综上，实数的取值范围是， 故选：D． 2．（2023·河南·郑州一中校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（    ） A．46 B．49 C．52 D．55 【答案】B 【分析】根据递推关系利用累乘法求数列的通项，然后代入计算即可. 【详解】因为当时，，即， 所以． 因为 ． 又，所以． 因为，所以，解得或（舍去）． 故选：B． 3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用累加法求得的通项公式，再运用裂项相消法求和即可. 【详解】解：当时，由累加法可得：， 所以（）， 又因为， 所以（）， 当时，，符合， 所以（）， 所以， 所以． 故选：A. 考点二：递推数列问题 4．（2023·陕西·统考一模）数列的前项和为，，若该数列满足，则下列命题中错误的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 【答案】C 【分析】利用可化简已知等式证得A正确；利用等差数列通项公式可整理得到B正确；由与关系可求得C错误；由，结合等比数列定义可知D正确. 【详解】对于A，当时，由得：， ，即，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 对于B，由A知：，，B正确； 对于C，当时，， 经检验：不满足，，C错误； 对于D，由B得：，，又， 是以为首项，为公比的等比数列，D正确. 故选：C. 5．（2023·贵州·校联考二模）已知是数列的前n项和，，，当数列的前n项和取得最大值时，n的值为（    ） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】由递推式得到，结合等差中项知为等差数列，进而写出其通项公式并判断单调性，最后判断上各项的符号，即可确定前n项和取得最大值时n的值. 【详解】①，则②， ②－①得：，即， 则数列为等差数列，且， 由得：，则公差， 所以，数列单调递减，而，，，......， 设，当时，，且，， 当时，恒成立，显然，， 即数列的前32项和最大. 故选：C 6．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（    ） A．2023 B．2021 C．1011 D．1013 【答案】D 【分析】由题意，根据，得到，进而求得，作差求出通项，判断为等差数列，即可求解. 【详解】由， 得，　     ① ，　② ①-②得，即，， 当时，，即，也适合， 综上，， 因为 所以是以2为首项，公差为1的等差数列， 所以，所以. 故选：D. 考点三：等差数列问题 7．（2022秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）在等比数列中，公比是数列的前项和，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】B 【分析】根据已知条件及等比数列的定义，利用已等比数列的通项公式及前项和公式，结合等差数列的定义及对数的运算即可求解. 【详解】由，得，即， 解得或， 由，得，故A错误； 所以等比数列的通项公式为 所以等比数列的前项和为即 所以 所以数列是公比为等比数列，故B正确； 因为所以故C错误； 因为所以， 所以数列是公差为的等差数列，故D错误. 故选：B. 8．（2022秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】首先由条件分析出等比数列的等比取值，即可得到是正项递减数列，然后利用这个性质结合题设条件即可判断. 【详解】∵数列是等比数列， ∴，，∴，∴， 又，∴，有：或， 当时，，有：， 此时：，与矛盾，所以不成立， 当时，，有：， 综上：， ∴数列是，的正项递减数列， ∴，所以A错误； ∵，，则有，，， ，∴，所以B错误； 为前项的积，，，，所以C错误； ∵ 又： ∴，所以D正确. 故选：D. 9．（2022·浙江宁波·效实中学校考模拟预测）已知数列满足，其前项和为，且，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A