第09讲 函数的单调性与最值-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第09讲 函数的单调性与最值 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 常用结论 1．∀x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减)． 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． 4．复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 1、【2020年新高考2卷（海南卷）】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2、【2021年甲卷文科】下列函数中是增函数的为（       ） A． B． C． D． 3、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是 A． B． C． D． 1、下列函数中，定义域是且为增函数的是 A． B． C． D．． 2、函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 3、已知函数，则 A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 4、(2022·沭阳如东中学期初考试)(多选题)如果函数在(0，1)上是减函数，那么 A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值 B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 考向一　函数单调性的证明与判断 例1、讨论并用定义证明函数f(x)＝在区间(－1，1)上的单调性． 变式1、判断函数f(x)＝在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论． 方法总结：　1. 判断函数的单调性，通常的方法有：（1）定义法；（2）图像法；（3）利用常见函数的单调性；（4）导数法.而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法. 2. 应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下： →→→→ 其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等． 考向二 函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间 （1）y＝－x2＋2|x|＋1； （2）、函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________. 变式1、求下列函数的单调区间． (1) f(x)＝|x2－2x＋2|； (2) f(x)＝log2(x2－2x－3). 变式2、(2022·沭阳如东中学期初考试)函数的单调递增区间是______． 变式3、.函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A. B. C.(－2，3) D. 方法总结：求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图像法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是： (1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； (2)对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解 考向三 函数的最值 例3、设m∈R，若函数f(x)＝|x3－3x－2m|在区间[0，2]上的最大值为4，求实数m的值． 变式1、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 方法总结：研究函数的单调区间，进行讨论求解求解 考向四 函数单调性中的含参问题 例4、　设a＞0且a≠1，函数f(x)＝loga(ax－1)在区