培优专题05 三角函数与解三角形大题归类-【查漏补缺】2023年高考数学三轮冲刺过关（新高考专用）

培优专题05 三角函数与解三角形大题归类 目录 重难点题型归纳 1 【题型一】恒等变形 1 【题型二】 零点与对称性 2 【题型三】恒成立求参 3 【题型四】 图像与解析式型 3 【题型五】 利用正弦定理求角 5 【题型六】利用余弦定理求角型 5 【题型七】最值1：面积最值型 6 【题型八】最值2： 锐钝角限制型最值 6 【题型九】最值3：周长最值型 7 【题型十】最值3：比值最值型 7 【题型十一】最值4：系数不一致型 8 【题型十二】最值5：角非对边型 8 【题型十三】最值6：四边形面积型 8 【题型十四】图形1：外接圆型 9 【题型十五】图形2：角平分线型 10 【题型十六】图形3：中线型 10 【题型十七】图形4：三角形高型 12 【题型十八】图形5：双三角形型 12 好题演练 14 重难点题型归纳 【题型一】恒等变形 【典例分析】 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的最大值及取得最大值时的的集合． 【技法指引】 和差倍角关系 ①cos(α±β)＝ cos αcos βsin αsin β； ②sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β； ③tan(α±β)＝； ④sin 2α＝2sin αcos α； ⑤cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 1－2sin2α ＝ 2cos2α－1 ； ⑥tan 2α＝__________________； 辅助角公式： asin x＋bcos x＝sin(x＋φ) ，其中， tanφ＝ ， |φ|＜ ， a＞0 ． 【变式演练】 ．设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为， (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值. 【题型二】 零点与对称性 【典例分析】 已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有个零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求的值. 【技法指引】 三角函数图像的主要一个特征，就是轴对称与中心对称。 1. 与水平线相交时的零点，多以对称轴为突破点 与其他函数相交时的零点，一般情况下，要看看其他函数是否具有对称中心 【变式演练】 已知． (1)求函数的值域； (2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值． 【题型三】恒成立求参 【典例分析】 已知函数. 求函数的最小正周期； 若对恒成立，求实数的取值范围. 【技法指引】 恒等变形化简： (1)化简的基本原则是：①切化弦：公式tan x＝；②降次数：公式cos2α＝，sin2α＝； (2)和积转换法：运用公式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ解决sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的变形、转化； (3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan； (4)整角转化：运用相关角的互补、互余等特殊关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－等 【题型四】 图像与解析式型 【典例分析】 已知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值． 【技法指引】 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法： (1)观察确定A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝. (2)通过周期公式求ω：即ω＝. (3)特殊点代入求φ：通常代入“最值点”或“零点”； 即整体思想，对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质． 【变式演练】 已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，，求实数a的取值范围以及的值. 【题型五】 利用正弦定理求角 【典例分析】 ．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若△ABC的面积为，，求a． 【技法指引】 正弦定理：＝＝＝2R，其中R为 外接圆半径 ； 注意：正弦定理变式与性质： ①边化正弦：a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； ②正弦化边：sin A＝，sin B＝，sin C