专题4.20 因式分解（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）

专题4.20 因式分解（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习） 一、综合篇 【考点一】直接进行因式分解 1．把下面各式分解因式： (1) (2) 2．把下列各式分解因式： （1） （2） 3．因式分解； （1） （2） （3） 【考点二】因式分解✮✮化简求值 4．先因式分解，再计算求值：，其中． 5．已知，先因式分解，再求值：． 6．设，若代数式化简的结果为，请你求出满足条件的a值． 【考点三】因式分解✮✮规律✮✮大小比较 7．仔细观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 请你根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)写出第（为正整数）个等式，并证明等式成立． 8．已知实数，（其中n是正整数）满足： (1)求的值； (2)求的值（用含n的代数式表示）； (3)求的值． 9．比较x2+1与2x的大小． （1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）： ①当x＝1时，x2+1　 　2x； ②当x＝0时，x2+1　 　2x； ③当x＝﹣2时，x2+1　 　2x． （2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由． 【考点四】因式分解✮✮面积问题 10．如图的长方体中，已知高为x，S1＝16﹣x2，S2＝4x﹣x2． (1)用x表示图中S3； (2)求长方体的表面积． 11．如图：将一张矩形纸板按图中所画虚线裁剪成九张小纸板，其中有两张正方形的甲种纸板，边长为a，有两张正方形的乙种纸板，边长为b，有五张矩形的丙种纸板，边长分别为a，b（）． (1)观察图形，矩形纸板的面积可以用裁剪成的九张小纸板面积的和表示为__________，还可以用两边的乘积表示为__________，则利用矩形纸板面积的不同表达方式可以得到等式______________________________； (2)若矩形纸板中所有甲、乙两种正方形纸板的面积和为，每个丙种矩形纸板的面积为，求图中矩形纸板内所有裁剪线（虚线）的长度之和． 12．探究活动： （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是____________．（写成两数平方差的形式） （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是__________．（写成多项式乘法的形式） （3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：______________． 知识应用： （1）计算：． （2）若，，求的值． 【考点五】因式分解✮✮几何问题 13．完全平方公式是初中数学的重要公式之一：，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式， 发现： 应用： (1)写出一个能用上面方法进行因式分解的式子，并进行因式分解； (2)若，请用m，n表示a、b； 拓展：如图在直角三角形ABC中，BC=1，，延长CA至D，使AD=AB，求BD的长（参考上面提供的方法把结果进行化简） 14．阅读材料：把形ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题： （1）填空：a2﹣4a+4＝　 　． （2）若a2+2a+b2﹣6b+10＝0，求a+b的值． （3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 二、压轴篇 【考点一】因式分解✮✮化简求值✮✮规律✮✮最值 15．已知a2﹣3a+1＝0． （1）判断a＝0是否成立？请说明理由． （2）求6a﹣2a2的值． （3）求a+的值． 16．两位数相乘：19×11=209，18×12=216，25×25=625，34×36=1224，47×43=2021，… （1）认真观察，分析上述各式中两因数的个位数、十位数分别有什么联系，找出因数与积之间的规律，并用字母表示出来． （2）验证你得到的规律． 17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q(p，q是正整数，且p≤q)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F(n)= ．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)= ． (1)若F(a)=且a为100以内的正整数，则a= ； (2)如果m是一个两位数，那么试问F(m)是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大(或最小)值以及此时m的取值并简要说明理由． 【考点二】因式分解✮✮阅读材料 18．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+