1.3 复数（精讲）-2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）

1.3 复数（精讲） 一．复数的有关概念 1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单位．（虚部不含i） 2.复数的分类： 复数z＝a＋bi(a，b∈R) 3.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 4.共轭复数：a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．（实同虚反） 5.复数的模： 向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 二．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 三．复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0) 2.几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－. 1． 解决复数概念问题的方法 1.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． 2.复数绝大部分问题可以转化为复数的实部与虚部，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 二．复数代数形式运算问题的解题策略 复数的加减法 在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可 复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可 复数的除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式 三．复数的几何意义 1.进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式； 2.把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a＋bi与复平面上的点(a，b)一一对应． 四．常用结论 1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. 2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)． 5．复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆． 考点一 复数的计算 【例1-1】（2023·甘肃·统考二模）已知，为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2023·新疆·校联考二模）复数，则（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（2023春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·西藏拉萨·统考一模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山西临汾·统考二模）复数（    ） A． B．2048 C． D．-2048 5．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若为虚数单位，则计算___________． 考法二 复数的实部与虚部 【例2-1】（2023·广西南宁·统考二模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【例2-2】（2023·江西九江·校联考模拟预测）若复数（是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023春·河南商丘）已知复数，则z的虚部为（    ） A．2 B． C．5 D． 2．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）复数的实部与虚部之和为_______. 3．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设i为虚数单位，且，则的虚部为（    ） A． B．2 C．2i D． 考法三 复数的分类 【例3-1】（2023·辽宁·校联考二模）已知，为纯虚数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3-2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知i为虚数单位，复数是实数，则的值是（    ） A．2 B