第07讲 值域最值求法2（讲义+课件）-2024年新高考数学一轮复习考点点点通与精准提升（新高考通用）

第07讲 值域最值求法2 1.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q． 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④Mn＝logaM． (2)对数的性质 ①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：logaN＝ (a，c均大于零且不等于1)； ②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad 3.指数函数的图象和性质 函数 y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1 图象 图象特征 在x轴上方,过定点(0,1) 当x逐渐增大时,图象逐渐下降 当x逐渐增大时,图象逐渐上升 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 单调性 在R上单调递减 在R上单调递增 函数 值的变 化规律 当x=0时, y=1 当x<0时, y>1 ; 当x>0时, 0<y<1 当x<0时, 0<y<1; 当x>0时, y>1 4.对数函数的图象与性质 函数 y=logax(a>0,且a≠1) a>1 0<a<1 图象 性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过定点(1,0) 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在区间(0,+∞)内 是增函数 在区间(0,+∞)内 是减函数 5.常用结论 (1)复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减． 考点一 分类讨论法解决二次函数闭区间上的最值问题 考点二 利用基本不等式求最值或值域 考点三 求解指数函数复合型函数的值域或最值 考点四 求解对数函数复合型函数的值域 考点一：分类讨论法解决二次函数闭区间上的最值问题 例1．已知函数在区间上的最小值为-2，则的值为（    ） A．-2 B．-2或 C．-2或1 D． 【答案】D 【分析】讨论对称轴和定义域的关系，分，，三种情况分别求最小值，列式求的值 【详解】函数， 当时，函数在区间上单调递增，函数的最小值，成立， 当时，函数在区间上的最小值，解得：（舍）或，所以， 当时，函数在区间上单调递减，函数的最小值，解得：，不成立， 综上可知：. 故选：D 对点训练1．已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数在区间上具有单调性，且函数的对称轴为，可得，或，从而得到的取值范围． 【详解】∵函数在区间上具有单调性，函数的对称轴为，∴，或， 故m的取值范围为， 故选：C． 例2．已知函数，当时，恒有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次函数的对称轴为，分、两种情况讨论即可. 【详解】二次函数的对称轴为 当时，在上单调递增， 故，故 当时，，故 综上：实数的取值范围为 故选：A 对点训练2．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】函数的图象是开口向上，且以直线为对称轴的抛物线，如图所示，所以，因为函数的定义域为，值域为，所以的取值范围是， 故选：C. 考点二：利用基本不等式求最值或值域 例3．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由于，故，所以，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4， 故选：B 对点训练．设函数的最大值为M，最小值为m，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式，结合分离常数法，可得答案. 【详解】由函数，显然，当，， 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则，故； 当时，，当且仅当，即时，等号成立，则故； 综上可得，，，则. 故选：C. 考点三：求解指数函数复合型函数的值域或最值 例4．已知不等式对任意上恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C