专题2.9五种题型（等腰、直角三角形，不等式与方程组，圆）中的分类讨论思想与真题训练-2023年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用）

2023年中考数学考前30天迅速提分复习方案（全国通用） 专题2.9五种题型中的分类讨论思想与真题训练 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一，本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境。 一、分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解。通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简。 二、分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则。 三、分类讨论的步骤 同一性、互斥性、层次性三原则仅仅保证合理分类,是分类讨论中的核心步骤,解题中,分类讨论一般分为四步： （1）确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；（2）正确选择分类标准,合理分类； （3）逐类、逐段分类讨论； （4）归纳并做出结论。 技巧方法 一、等腰三角形的存在问题分类讨论 1. 假设结论成立； 2. 找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下： ① 当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在； ② 当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点. 3. 计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解 二、直角三角形的存在问题分类讨论 1. 设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（1，f），△BCF三边长为：BF2＝4＋f2，CF2=f2+6f+10，BC=18； 2. 找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论： ① 当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC），分别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有交点时，此交点即为符合条件的点； ② 当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点. 3. 计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算. 三、不等式（组）中的分类讨论思想 分类讨论思想在不等式（组）中主要体现在含有字母系数的一元一次不等式（组）的解法问题，在求其解集时要对字母进行分类讨论。 对含字母系数的不等式或不等式组，在求解时一定要注意字母系数的取值范围，要进行分类讨论。 四、方程（组）和函数中的分类讨论思想 在函数问题中，分类有两种情况：一种是对概念进行分类，一 种是分情况讨论问题，对概念进行分类，是明确概念的一种逻辑方法，有助于对概念的理解与掌握；分情况讨论问题，可以帮助我们全面考察一个对象，得出可能的结论，也可以使问题更容易人手，分类思想方法对于中学生来是比较难掌握的一种数学思想方法，在对概念进行分类时，往往把握不住标准，不能坚持用同一个标准进行分类，出现“重"或“漏"的现象，从而容易导致错误的发生 五、圆中的分类讨论思想 由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问题。这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。 题型归纳 题型一： 等腰三角形中的分类讨论思想 一．选择题（共1小题） 1．（2022•威远县校级二模