第06讲 基本不等式及应用-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第06讲 基本不等式及应用 1、基本不等式： (1)基本不等式成立的条件： . (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2、几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)． (2)＋≥ (a，b同号)． (3)ab≤ (a，b∈R)． (4)≥ 2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3、利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 1、【2022年新高考2卷】若x，y满足，则（       ） A． B． C． D． 2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（       ） A． B． C． D． 3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ） A． B． C． D． 1、在下列函数中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 2、一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大． 3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足，则（       ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值为 4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知，且.则下列选项正确的是（       ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 考向一　运用基本不等式求函数的最值 例1、　(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． (2)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________． (3)函数y＝(x>1)的最小值为________． 变式1、已知x>1，求y＝ 的最小值． 变式2、　已知x≥1，求y＝ 的最小值． 变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（       ） A． B． C． D． （2）（2022·广东惠州·二模）函数有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 方法总结： (1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解． (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． 考向二 基本不等式中1的运用 例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________． 变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（       ） A． B．9 C． D．2 变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则 的最小值是（       ） A．2 B． C． D．不存在 变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若，，，则的可能取值有（     ） A． B． C． D． 方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型 考向三 运用消参法解决不等式问题 例3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝－，则y的最大值为( ) A．1 B． C．2 D． 变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考) 已知正实数，满足，则的最小值是____