第04讲 不等式及性质-2024年高考数学一轮复习精品导学案（新高考）

第04讲 不等式及性质 1、两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔ (2)a－b＝0⇔ . (3)a－b＜0⇔ . 2、不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔ ； (2)传递性：a>b，b>c⇒ ；　　 (3)可加性：a>b⇔ ；a>b，c>d⇒ ； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ ; a>b>0，c>d>0⇒ ；　 c<0时应变号． (5)可乘方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)． 3、常见的结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0<b⇒<. (3)a>b>0,0<c<d⇒>. (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 4、两个重要不等式 若a>b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 1、【2019年新课标2卷理科】若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 2、【2020年新高考1卷（山东卷）】（多选题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ） A． B． C． D． 1、（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 2、（2022·江苏南京·模拟预测）设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（       ） A． B． C． D． 3、若a>1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(　　) A．n>m>p B．m>p>n C．m>n>p D．p>m>n 4、（2022·重庆·一模）（多选题）设非零实数，那么下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 考向一　不等式的性质 例1、（2022·河北张家口·一模）（多选题）若，则下列不等式中正确的有（       ） A． B． C． D． 变式1、（2022·福建三明·模拟预测）（多选题）设，且，则（       ） A． B． C． D． 变式2、（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若则 变式3、（2022·山东济南·高三期末）（多选题）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值为4 方法总结：不等式性质应用问题的常见类型及解题策略： (1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件； (2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否成立，要注意特殊值法的应用； (3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 考向二 不等式的比较大小 例2、(1) 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________； (2) 若a＝，b＝，则a______b；(填“＞”或“＜”) (3) 若实数a≠1，比较a＋2与的大小． 变式1、已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________． 变式2、设a>b>0，试比较与的大小． 方法总结：方法总结：比较大小的方法 (1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小 考向三 运用不等式求代数式的取值范围 例3、　已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．　 变式1、　(1) 已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围； (2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围； (3) 已知1≤lg (xy)≤4，－1≤lg ≤2，求lg 的取值范围． 方法总结：求代数式的取值范围 一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围 1、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式恒成立的