中考核心微专题集训12 等腰三角形存在性问题-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课中考核心微专题特训教师用书配套word

中考核心微专题集训12(见学生用书P141) [范围： 等腰三角形存在性问题] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC＝40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是(　D　) A.40° B．70° C．70°，80° D．140°，80° 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，动点P从B出发，以1 cm/秒的速度沿着射线BA运动，当点P运动的时间为t秒时，△PBC为等腰三角形，则t值错误的是(　D　) A. B．4 C． D．3 3．已知∠POQ＝40°，OE平分∠POQ，点A，B，C分别是射线OP，OE，OQ上的点(点A，B，C都不与点O重合)，且AB⊥OP，连结AC交射线OE于点D.若△ABD是等腰三角形，则∠OAC＝__20°，50°，35°或125°__． 第3题图 　第4题图 4．如图，在正方形ABCD中，BC＝4，G为射线CB上的动点，连结DG，交AC于H.要使△GHC为等腰三角形，则CG＝__4或4－4__． 【解析】 当GH＝CH时， ∴∠ACB＝∠DGC＝45°， ∴∠GHC＝90°，即DG⊥AC， ∴点G与点B重合， ∴CG＝CB＝4. 当GH＝GC时， ∴∠GHC＝∠GCH＝45°， ∴∠HGC＝90°. ∵∠DGC是Rt△DGC的一个锐角， ∴∠DGC<90°， ∴不存在GH＝GC. 当CH＝CG时， ∴∠GHC＝∠HGC＝67.5°， ∴∠GDC＝22.5°， 如图2，在CD上截取CG＝CN，连结GN， ∴∠CNG＝∠CGN＝45°，GN＝CG， ∴∠DGN＝22.5°＝∠GDC，∴DN＝GN. ∵DN＋NC＝CD＝4， ∴GC＋GC＝4， ∴GC＝4－4. 综上所述，GC＝4或4－4. 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，P是边BC上的一动点(P与B，C不重合)，过点A作AQ⊥AP，交CD的延长线于点Q，交AD于点E，若BP＝x，CQ＝y. (1)试写出y与x的函数关系式． (2)当x为何值时，△APE为等腰三角形？ 解：(1)由△ABP∽△ADQ，可得y＝2x＋2，其中0<x<4. (2)如下图所示，当x＝1，－1＋，时，△APE为等腰三角形． 6．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E在射线DC上，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为F，连结CF，DF.当△CDF为等腰三角形时，求DE的长． 解：①如图1，当FD＝FC，且点E在边DC上时，过点F作AB的垂线，垂足为G，交CD于点H，易得GH⊥CD，则AG＝DH＝CD＝2，FG＝，FH＝3－，故tan ∠FDH＝.又易得∠DAE＝∠FDH，则tan ∠DAE＝，即＝，此时DE＝； ②如图2，当CD＝CF时，点C在DF的垂直平分线上，又AD＝AF，点A也在DF 的垂直平分线上，故AC垂直平分DF.由折叠知，AE垂直平分DF，故AC与AE重合，即点C与点E重合，此时DE＝DC＝4； ③如图3，当CD＝FD时，设FD与AE交于点M，则DM＝FD＝CD＝2且AE⊥DF于点M，故AM＝，tan ∠DAM＝，即tan ∠DAE＝，从而有＝.此时DE＝； ④如图4，当FD＝FC，且点E在DC的延长线上时，过点F作AB的垂线，垂足为G，交CD于点H，易得FH⊥CD，则AG＝DH＝CD＝2，FG＝，FH＝3＋，故tan ∠DFH＝.又易得∠AED＝∠ADF＝∠DFH， 则tan ∠AED＝，即＝.此时DE＝. 综上所述，当△CDF为等腰三角形时，DE的长为，4，，. 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝9，E是CD边上一点(不与点C重合)，作AF⊥BE于F，CG⊥BE于G，延长CG至点C′，使C′G＝CG，连结CF，AC′. 　　　　　　　　　备用图1　　　　　备用图2 (1)直接写出图中与△AFB相似的一个三角形． (2)若四边形AFCC′是平行四边形，求CE的长． (3)当CE的长为多少时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形？ 解：(1)答案不唯一，如△AFB∽△BCE. (2)CE＝7.5. (3)当CE的长为或3时，以C′，F，B为顶点的三角形是以C′F为腰的等腰三角形． 8．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，点E是AD边上一动点(点E不与A，D重合)，连结BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H. (1)【尝试初探】在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由． (2)【深