中考核心微专题集训9 动点问题探究-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课中考核心微专题特训教师用书配套word

中考核心微专题集训9(见学生用书P141) [范围： 动点问题探究] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．2022·温州模拟如图，在含30°角的直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C，若AC＝6，则点M经过的路径长为(　C　) A．6 B．2π C．3π D．4π 【解析】 如图，连结CM，CM′， ∵在含30°角的直角三角板ABC中，点M是斜边AB边上的中点，∴CM＝AB. ∵∠B＝30°，∴AB＝2AC＝12，∴CM＝6， 由题意知，点M的运动路径为以点C为圆心CM为半径的弧． ∵将三角板绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到△A′B′C， ∴∠MCM′＝90°，∴点M经过的路径长为＝3π. 2．2022·杭州模拟如图所示，正方形ABCD的边长为4，E为线段BC上一动点，连结AE，将AE绕点E顺时针旋转90°至EF，连结BF，取BF的中点M，若点E从点B运动至点C，则点M经过的路径长为(　B　) A．2 B．2 C．2 D．4 【解析】 ∵将AE绕点E顺时针旋转90°至EF， ∴EF⊥AE.当点E在点B处时，点M在BC的中点G处，GM始终是△BCF的中位线，可以判定M在直线上运动． 当点E在点C处时，点M在CD中点H处(图略)， ∴点M经过的路径长为GH的长． ∵正方形ABCD的边长为4，∴GH＝2，故选B. 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是__1.2__． 【解析】 将△FCE沿EF翻折得到△FPE，可得P点的轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧．如图，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小． ∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°， ∴△AFM∽△ABC，∴＝， ∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，∴AF＝4，AB＝＝10， ∴＝，∴FM＝3.2， ∵PF＝CF＝2，∴PM＝1.2. ∴点P到边AB距离的最小值是1.2. 4．如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值是__2__． 【解析】 如图，∵∠ABC＝90°. ∴∠ABP＋∠PBC＝90°. ∵∠PAB＝∠PBC， ∴∠ABP＋∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°. 点P在运动过程中，始终有定长AB＝6，定角∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上． 取AB的中点为O，连结OC交⊙O于点P，此时CP的值最小，在Rt△BOC中，OC＝＝5， ∴PC＝OC－OP＝5－3＝2. 5．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为__2－2__． 【解析】 如图，当B，D，E三点共线时，D与E距离最小， ∵∠ABC＝90°，MN＝4，E 为 MN 的中点， ∴BE＝2， 在梯子滑动的过程中，点E与点B的距离始终等于2， ∴点E的运动轨迹是以点B为圆心，BE为半径的圆弧， ∴当 B，D，E 三点共线时，DE最小． BD＝＝2，DE＝BD－BE＝2－2. 第5题图 　　第6题图 6．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连结A′C，则A′C长度的最小值是__－1__． 【解析】 在N的运动过程中A′在以M为圆心， MA为半径的上运动，当A′C取最小值时， A′在MC上时，即M，A″，C三点共线，如图1. 过点M作MF⊥DC交CD的延长线于点F，如图2. 在Rt△MFC中，由勾股定理可知MC＝， 所以，A′C的最小值为－1. 7．如图，点A是直线y＝－x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为__＋1__． 【解析】 如图所示，A在第四象限，作△AOB的外接圆⊙C， 连结CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB， 由题可得∠AOB＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∴CD＝AB＝1，AC＝BC＝＝CO， 连结OD，则OD≤OC＋CD， ∴当O，C，D在同一直线上时， OD的最大值为OC＋CD＝＋1，此时OD⊥AB， ∴△AOB的面积最大值为AB·OD＝×2(＋1)＝＋1， 当点