中考核心微专题集训8 数式、图形新定义问题探究-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课中考核心微专题特训教师用书配套word

中考核心微专题集训8(见学生用书P141) [范围： 数式、图形新定义问题探究] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．现规定一种新运算“*”：a*b＝ab，如3*2＝32＝9，则*3等于(　A　) A． B．3 C． D． 【解析】 由题意可知，a*b＝ab，∴*3＝＝. 2．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[1.5]＝1，[2.3]＝2，若[x]＋3＝1，则x的取值范围是(　C　) A．－4≤x<－3 B．－3≤x<－2 C．－2≤x<－1 D．0≤x<2 【解析】 ∵[x]＋3＝1，∴[x]＝－2， ∵[x]表示不大于x的最大整数，∴－2≤x＜－1，故C正确． 3．2021·金华模拟定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作dC※AB＝n. 甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则dC※AB＝. 乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则dC※AB＝. 关于甲、乙两位同学的猜想，下列说法中正确的是(　A　) A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【解析】 ∵点C在线段AB上，若AC＝2BC， ∴AC＝AB，即n＝， ∴dC※AB＝.故甲的猜想正确； ∵点C是线段AB的三等分点，∴AC＝AB或AC＝AB， ∴dC※AB＝或.故乙的猜想不正确． 4．2021·丽水模拟定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么就称这个方程为“凤凰方程”．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则a与c的关系是(　B　) A．a＋c＝0 B．a＝c C．ac＝1 D．ac＝－1 【解析】 ∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0， 又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得(－a－c)2－4ac＝0， 即(a＋c)2－4ac＝a2＋2ac＋c2－4ac＝a2－2ac＋c2＝(a－c)2＝0， ∴a＝c. 5．2021·台州模拟定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是(　C　) 　A. 　B. 　C. 　D. 【解析】 根据等腰三角形的定义画出图形即可判断． 选项A，B，D均可按照上图所示分割成两个等腰三角形，选项C无法分割，故选C. 6．2022·杭州模拟已知y1，y2均为关于x的函数，当x＝a时，函数值分别为A1，A2，若对于实数a，当0＜a＜1时，都有－1＜A1－A2＜1，则称y1，y2为亲函数，则以下函数y1和y2是亲函数的是(　D　) A．y1＝x2＋1，y2＝－ B．y1＝x2＋1，y2＝2x－1 C．y1＝x2－1，y2＝－ D．y1＝x2－1，y2＝2x－1 【解析】 ∵y1＝x2＋1，y2＝－，∴y1－y2＝x2＋1＋， 当0<x<1时，>1，且x2＋1>1，∴y1－y2＝x2＋1＋>1，即选项A不符合题意； ∵y1＝x2＋1，y2＝2x－1，∴y1－y2＝x2＋1－2x＋1＝＋1， 当0<x<1时，＋1>1，即选项B不符合题意； ∵y1＝x2－1，y2＝－，∴y1－y2＝x2－1＋， 当x＝时，x2－1＋＝>1，即选项C不符合题意； ∵y1＝x2－1，y2＝2x－1，∴y1－y2＝x2－1－2x＋1＝x2－2x， 当0<x<1时，－1<x2－2x<0，即选项D符合题意． 7．2022·杭州模拟定义新运算“⊕”：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11.若y关于x的函数y＝(kx＋1)⊕(x－1)的图象与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为__－1或0__． 【解析】 ∵(kx＋1)⊕(x－1)＝(kx＋1)(x－1)＋(kx＋1)＋(x－1)＝kx2＋2x－1， ∴y＝kx2＋2x－1. 当k≠0时， ∵y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，∴Δ＝0，即4＋4k＝0，∴k＝－1. 当k＝0时，函数为y＝2x－1，其图象与x轴一定有一个交点． 8．2022·宁波模拟定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数y＝的图象上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点A，B，则BC的长为__或9__． 【解析】 设BC＝m，则D(4，1＋m)，C(7，1＋m)， 因为反比例函数图象的一支在第一象限，故k＞0. (1)当反比例函数图象经过AB和CD的三等分点时