中考核心微专题二十一 圆的应用拓展-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书配套word

2023浙江中考动态 中考高频命题要点 中考高频命题情境 案例举例 100－110分命题方向 1．点与圆、直线与圆、多边形与圆的位置关系 2．垂径定理的拓展应用 3．圆心角定理、圆周角定理的拓展应用 110－120分命题方向 辅助圆的构造与应用 1.运用垂径定理计算圆的半径、弦长等 2．运用圆心角定理、圆周角定理进行计算、证明等 2022杭州10 2022金华22 2022嘉兴16 2021杭州23 2021宁波24 2021嘉兴9 2021衢州21 第一层　“100－110分”命题探究 与圆相关的知识点，是中考必考的一个知识点，在考查圆中的一些知识点的同时也常常伴随另一些几何图形，如：等腰三角形、直角三角形、平行四边形等．此类问题通常需要一定的分析问题、解决问题的能力，不仅有角度与线段的计算与推理，还要注意分类讨论等思想方法．这些基本知识与能力的结合，依然是中考重点的考查方向． 角度1　点与圆的位置关系 必备知识： 1.已知⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，则当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 2．在弦所在直线同侧的前提下，当点到弦的两端的张角大于弦所对的圆周角时，点在圆内；当张角等于弦所对的圆周角时，点在圆上；当张角小于弦所对的圆周角时，点在圆外． 构造思路：1.点与圆心之间的距离和半径比较；2.弦的两端的张角与弦所对的圆周角进行比较． 示例图形： d＞r 点C在圆外 d＝r 点A在圆上 d＜r 点B在圆内 ∠AQB＜∠AQ′B 点Q在圆外 ∠ANB＝∠AN′B 点N在圆上 ∠APB＞∠AP′B 点P在圆内 例1 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，1为半径作⊙O，则此坐标系中点P与⊙O的位置关系为(　A　) A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 思考：(1)点P的位置能直接在图中表示出来吗？ (2)线段OP的长能求出来吗？ 思路点拨：利用勾股定理，可求得点P到圆心的距离，再判断该距离与半径的大小关系，即可判断出点P的位置． 【解析】 运用勾股定理，可得OP＝＝＜1，故点P在⊙O内，选A. 例2 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．下图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在(　C　) A.点C B．点D或点E C．线段DE(异于端点)上一点 D．线段CD(异于端点)上一点 思考：(1)如何判断最好的射点位置？它与张角有何关系？ (2)张角的大小，如何判断？是构造圆心角还是圆周角？ 思路点拨：以AB为弦，构造辅助圆，根据“同弧所对的圆周角相等”这一定理，可以判断出在圆内、圆上与圆外的点，从而得到最大的张角． 【解析】 以AB为弦，构造辅助圆，如图，可得点D，E在圆上，点C在圆外，线段DE(不包括点D，E)在圆内．根据弦所对的张角与圆周角的大小关系，可得线段DE(异于端点)上一点是最好的射点，故选C. 角度2　直线与圆的位置关系 必备知识：已知⊙O的半径为r，圆心到直线的距离为d.则当d＜r时，直线和圆相交；当d＝r时，直线和圆相切；当d＞r时，直线和圆相离． 构造思路：过圆心作直线的垂线，求得垂线段的长度，再与半径进行比较． 示例图形： 例3 2022·嘉兴如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为__60°__，折痕CD的长为__4__． 思考：(1) 所在的圆心O′的位置怎么确定？画出圆心O′后，如何计算所对的圆心角的度数？由E，F是切点，你能想到什么？ (2)由翻折的知识，你能得到哪些线段长度相等？再根据(1)中得到的结论，你能运用垂径定理、锐角三角函数和勾股定理得到怎样的结论？ 思路点拨：(1)由点E，F是切点，通过作两条垂线，交点即为的圆心O′.由四边形内角和为360°可得∠EO′F与∠EOF的关系，进而得的度数． (2)两段弧关于CD翻折，可得两个圆心关于CD对称，即CD垂直平分O′O，可得O′C＝6，然后根据垂径定理、锐角三角函数和勾股定理即可解决问题． 【解析】 如图，设翻折后的的圆心为O′，连结O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H， ∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6. ∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F， ∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°. ∵∠AOB＝120°， ∴∠EO′F＝60°， 则的度数为60°. ∵∠AOB＝120°， ∴∠O′OF＝60°. ∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6， ∴OO′