中考核心微专题二十 角的数量关系的应用与探究-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书配套word

2023浙江中考动态 中考高频命题要点 中考高频命题情境 案例举例 100－110分命题方向 1．基础图形中角的数量关系的应用与探究 2．角度和差倍分关系的转化应用 110－120分命题探究 添加恰当辅助线构造基本图形或转化条件 1.在角平分线、平行线、等腰三角形、圆、全等或相似等多重综合背景下，解决角的数量关系问题 2．和角、差角、倍角、分角的构造与转换 2022 温州20 2022丽水10 2021衢州9 2020杭州9 2021绍兴9 2021宁波23 第一层　“100－110分”命题探究 角是几何图形中的基本元素，中考中经常会出现角的数量关系应用与探究问题．如下图所示，第一类的等角或倍角关系，一般由角平分线、平行线、等腰三角形(等腰梯形或菱形等)、圆心角或圆周角、全等或相似三角形等基础图形产生．通常，以上多个因素会叠加出现在压轴题或次压轴题中，考查学生的综合应用能力．此时，要善于从角的数量关系出发寻找特殊的图形，用联系的眼光去看待未知量与已知量的关系，利用解三角形、相似三角形、函数与方程等方法解决相关问题． 角度1　“角平分线＋平行线”背景下的角的数量关系 必备知识： 角平分线和平行线的性质，等腰三角形的性质． 构造思路： 利用角平分线与平行线得到等角，得出等腰三角形．反之，利用角平分线与等腰三角形可得平行线，利用平行线与等腰三角形可得角平分线． 示例图形： 如右图，若BD平分∠ABC，点D，E分别在射线BD，BA上，DE∥BC，则△BDE是等腰三角形． 例1 2022·丽水如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，FG∥AD交AE于点G.若cos B＝，则FG的长是(　B　) A．3 B． C． D． 思考：(1)如何利用菱形、角平分线、平行线的性质进行角的等量代换？ (2)结合图形特点，能否构造相似三角形解决问题？或者尝试等积法？ 思路点拨：过点A作AH⊥BE于点H，根据cos B＝＝，可得BH＝1，所以EH＝1，证明AH是BE的垂直平分线，可得AE＝AB＝4，故得等腰△ABE.由角平分线与平行线得到等腰△AFG，结合菱形的边角性质可得四边形FGAD是一个以“底边长等于腰长”为特征的等腰梯形． 延长AE和DC交于点M.由已知可得BE＝EC，设GF＝AG＝x，GE＝4－x，易证△MGF∽△MEC，列出比例式，解方程即可得结论． 【解析】 如图1，作AH垂直BC于H， ∵菱形ABCD的边长为4， ∴AB＝AD＝BC＝4. ∵cos B＝＝， ∴BH＝1. ∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴EH＝BE－BH＝1，∴AH是BE的垂直平分线， ∴AE＝AB＝4. ∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠FAG. ∵FG∥AD，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠FAG＝∠AFG，∴GA＝GF. 如图2，延长AE和DC交于点M，易得AE＝AB＝EM＝MC＝4. 设GF＝GA＝x，GE＝4－x， 由GF∥BC， ∴△MGF∽△MEC， ∴＝，解得x＝.故FG的长为. 变式 2022·温州如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证：∠EBD＝∠EDB. (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． 思考：(1)如何利用角平分线与平行线进行角的等量代换，从而得到等腰三角形？ (2)图中存在几个等腰三角形？它们之间有何关联？ 解：(1)证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD. ∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB. (2)CD＝ED，理由如下： ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE， 由(1)得∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED. 角度2　特殊三角形或四边形背景下的角的数量关系 必备知识： 特殊三角形、特殊四边形中角的关系，与角转化有关的边的关系． 构造思路： 寻找三角形的特殊性，特殊四边形问题转化为特殊三角形． 例2 　2021·衢州如图，将菱形ABCD绕点A逆时针旋转 ∠α 得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β .当AC平分 ∠B′AC′时，∠α与 ∠β 满足的数量关系是(　C　) A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β C．4∠α＋∠β＝180° D．3∠α＋2∠β＝180° 思考：(1)根据旋转性质，图中哪些角都等于旋转角∠α？从这个角度如何求解？ (2)菱形中的等腰△ABC三个内角都能用∠β表示吗？能找到怎样的等量关系？ 【解析】 ∵将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α 得到菱形 AB′C′D′， ∴∠CAC′＝∠BAB′＝∠α. ∵AC平分∠B′AC′， ∴∠B′A