中考核心微专题十五 全等三角形的基本问题-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书配套word

2023浙江中考动态 中考高频命题要点 中考高频命题情境 案例举例 100－110分命题方向 1．全等三角形的基本模型应用 2．共边全等三角形存在性问题 3．共顶点全等三角形存在性问题 110－120分命题方向 结合图形运动与变换 1. 全等三角形的基本模型通常隐藏在几何图形中，必要时还需要构造基本模型 2. 全等三角形的存在性问题是一个常考的知识热点，一般会设置动点，目的是产生动态的三角形，再从中寻找存在的全等三角形 2022金华10 2022湖州16，24 2022绍兴16 第一层　“100－110分”命题探究 全等三角形的基本模型往往有六大类：平移型、轴对称型、旋转型、三垂直型、一线三等角型以及半角模型． 必备知识：全等三角形的判定与性质． 角度1　平移型 构造思路：有一组边共线，另两组边分别平行，常在移动方向上加(减)公共线段，构造线段相等，并利用平行线性质找到对应角相等． 示例图形： 例1 2022·金华如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm.把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′，连结CC′，则四边形AB′C′C的周长为__(8＋2)__cm. 思考：平移前后两个三角形有什么关系？ 思路点拨：利用含30°角的直角三角形的性质、勾股定理和平移的性质，求得四边形AB′C′C的四边即可求解． 【解析】 ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2 cm， ∴AB＝2BC＝4，∴AC＝＝2. ∵把△ABC沿AB方向平移1 cm，得到△A′B′C′， ∴B′C′＝BC＝2，AA′＝CC′＝1，A′B′＝AB＝4， ∴AB′＝AA′＋A′B′＝5， ∴四边形AB′C′C的周长为AB′＋B′C′＋CC′＋AC＝5＋2＋1＋2＝(8＋2)cm. 角度2　轴对称型 构造思路：所给图形可沿某一直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件，即公共边或公共角相等． 示例图形： 例2 2022·金华右图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD的中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C.若＝，则的值为(　A　) A．2 B． C． D． 思考：(1)由于E为AD的中点，则AE，DE，A′E之间有怎样的数量关系？ (2)由B′A′的延长线过点C，则∠EA′C与∠D有什么样的数量关系？连结CE，你能从图中找到全等三角形吗？ 思路点拨：折叠问题的本质就是折叠前后的两个图形全等，通过线段和角度的等量关系传递，挖掘隐藏的全等三角形，是解决问题的关键． 【解析】 不妨设BF＝2k，CG＝3k，延长B′A′至点C，连结CE，则Rt△CA′E≌Rt△CDE，则A′C＝CD＝AB＝A′B′，＝＝1，所以GF＝CG＝3k，BC＝8k.在Rt△CB′F中，由勾股定理得CB′＝4k，则A′B′＝2k，所以AB＝2k，故＝＝2. 角度3　旋转型 类型一　不共顶点型旋转 构造思路：所给图形是一个中心对称图形，一个三角形绕对称中心旋转180°，则可得到另一个三角形，两三角形有一组边共线，构造线段相等，并利用平行线的性质找到对应角相等． 示例图形： 例3 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上两点，且CE＝AF.求证：△BCE≌△DAF. 思考：由平行四边形的性质可以得出哪些结论？ 思路点拨：根据SAS可证明△BCE≌△DAF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB＝AD，CB∥AD，∴∠BCE＝∠DAF. 在△BCE和△DAF中， ∴△BCE≌△DAF(SAS). 类型二　共顶点型旋转 构造思路：所给图形可看成是由三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，在旋转过程中，两个三角形无重叠或有重叠，找等角或运用角的和差得到等角．遇到共顶点、等线段，考虑用旋转． 示例图形： 例4 【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连结这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 (1)如图1，在对余四边形ABCD中，∠BCD>90°，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连结AC.若AC＝AB，求sin ∠CAD的值． (2)如图2，在凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2＋CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论． 思考：遇见共顶点的三条线段时，通常怎样构造图形将三条线段等量代换到同一个三角形的三条线段关系？ 思路点拨：(1)先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin ∠CAD的值． (2)通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形