中考核心微专题十三 直角三角形存在性问题-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书配套word

2023浙江中考动态 中考高频命题要点 中考高频命题情境 案例举例 100－110分命题方向 1．由边或角直接判定 2．两点已定，操作探究 3．动点较多，结合边角 4．数形结合，构建直角三角形存在与方程解之间的关联 1.以正方形网格图、直角坐标系、特殊四边形等为背景 2．明确两定点的前提下，会根据“两线一圆”画图解决问题，或者在多动点的情境下转化为两定点来思考 2021湖州 2022温州 第一层　“100－110分”命题探究 必备知识：直角三角形的判定有两个方向，一是从边的方向，根据勾股定理的逆定理；二是从角的方向，根据直角三角形的定义．解题时只需抓住三角形边、角之间的数量关系即可． 例1 右图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 (1)AB与CD是否垂直？__是__(填“是”或“否”) (2)AE＝____． 思考：(1)要判断AB与CD是否垂直，可以转化为什么问题？ (2)此题以钉板作为背景，这和我们所熟悉的什么背景非常类似？回忆一下之前是如何处理的？ 思路点拨：如图，连结AC，BD，CF，借助正方形网格线构造全等三角形，再利用全等三角形角度之间的等量关系解决问题． 【解析】 (1)如图．AC＝CF＝2，CG＝DF＝1， ∠ACG＝∠CFD＝90°， ∴△ACG≌△CFD， ∴∠CAG＝∠FCD. ∵∠ACE＋∠FCD＝90°， ∴∠ACE＋∠CAG＝90°，∴∠CEA＝90°， ∴AB与CD是垂直的． (2)由题意，得AB＝＝2，∵AC∥BD， ∴△AEC∽△BED，∴＝，即＝， ∴＝，∴AE＝AB＝. 必备知识：会画“两线一圆”． 构造思路：如图1，2，已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有无数个，顶点C的轨迹是分别过A，B两点且与AB垂直的两条直线(A，B两点除外)；如图3，已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有无数个，顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(A，B两点除外). 示例图形： 引例　如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的格点上，在图中格点上画出一点C，使△ABC为直角三角形，找出所有满足条件的点C. 思路点拨：画“两线一圆”，以AB为直径作圆，分别过点A，B作线段AB的垂线． 解：如图． 例2 2021·湖州已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是__2或－8__． 思考：(1)由题意可知，O，A两个点显然是定点，根据必备知识点M的位置具体分布在哪儿？ (2)题目所要求的的值与抛物线的什么有关？要存在三个不同点M，则对抛物线对称轴的位置有何要求？ 思路点拨：如图，以OA为直径画圆，分别过点O，A作OA的垂线l1，l2，只需使得抛物线的对称轴与这“两线一圆”产生3个交点即可． 【解析】 由题意，得O(0，0)，A(3，4). ∵△AOM为直角三角形，如图． ①当∠AOM＝90°时，OA⊥OM. ∴点M在与OA垂直的直线l1上运动(不含点O)； ②当∠OAM＝90°时，OA⊥AM， ∴点M在与OA垂直的直线l2上运动(不含点A)； ③当∠OMA＝90°时，OM⊥AM， ∴点M在以OA为直径的圆上运动(不含点A，O)，设圆心为点P. ∴P为OA的中点， ∴P. ∴半径r＝AO＝＝. ∵抛物线y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的对称轴与x轴垂直， 由题意得，抛物线的对称轴与l1，l2，⊙P共有三个不同的交点， ∴抛物线的对称轴为⊙P的两条切线． 又点P到切线l3，l4的距离d＝r＝，P， ∴直线l3的解析式为x＝－＝－1，直线l4的解析式为x＝＋＝4， ∴－＝－1或4，∴＝2或－8. 必备知识：多动点问题，往往需要结合边角来分类讨论． 例3 2022· 温州24改编如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上的一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD的延长线于点E，交半圆于点F.已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上(不与端点重合)，且满足＝.设BQ＝x，CP＝y. (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ，当△PQR为直角三角形时，求x的值． 思考：(1)如何寻找并建立x，y之间的关系？有哪些条件可以利用？还需要求哪些线段？ (2)要使△PQR成为直角三角形，哪个角有可能成为直角？示意图又该如何画？ 思路点拨：显然∠PRQ＜90