中考核心微专题十一 几何图形最值问题-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书配套word

2023浙江中考动态 中考高频命题要点 中考高频命题情境 案例举例 100－110分命题方向 1．利用轴对称变换求最值 2．利用“垂线段最短”求最值 3．利用辅助圆求最值 4．利用数形结合求最值 110－120分命题方向 以图形变换为背景的综合应用 1.以轴对称或折叠为背景 2．探究动点的运动路径后，解决最值的问题 2022湖州10 2022杭州10 2022金华8 2021嘉兴16 第一层　“100－110分”命题探究 轴对称变换是中考的热点，而通过轴对称变换求最值是中考的较难点．利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的基本定理主要有三个： (1)两点之间线段最短．(2)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)垂线段最短． 必备知识： 轴对称变换的定义及轴对称的性质． 构造思路：若求的线段和中只有一个动点，则取任意一个定点作关于直线的对称点，连结这个对称点与另一个定点，与直线的交点即为动点满足最值的位置． 示例图形：如右图，点A，B是定点，在直线上找一点C，使AC＋BC的值最小． 例1 2021·湖州模拟如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为(　C　) A． B．3 C．2 D．4 思考：(1)在点M的运动过程中，图形中哪两个点是定点？哪个点是动点？ (2)作其中一个定点关于哪条直线的对称点？ (3)如何找出点M的位置，即使得EM＋CM最小的位置？ 思路点拨： 连结BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F，此时EM＋CM的值最小，求出BE即可． 【解析】 如图，连结BE，交AD于点M，过点E作EF⊥BC交于点F. ∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线， ∴点B与点C关于AD对称， ∴BM＝CM， ∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此时EM＋CM的值最小． ∵AC＝6，AE＝2，∴EC＝4. 在Rt△EFC中，∠ECF＝60°， ∴FC＝2，EF＝2. 在Rt△BEF中，BF＝4， ∴BE＝2. 问题拓展：此题可以总结为“两定一动”“将军饮马”的模型．解决问题的策略是找出以哪条直线为对称轴，再确定其中一个定点关于这条直线的对称点，再与另一个动点连结，与对称轴的交点就是我们所要找的动点的位置，这样就可以解决两线段之和的最值问题．但如果在所求的两条线段之和中，有一个定点，两个动点，又该如何去思考呢？ 例2 2022·杭州模拟如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝3 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值是__3__． 思考：(1)在本题中有几个定点？几个动点？ (2)怎么样才能把三条线段放到同一条直线上？ 思路点拨：根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”，可找到△PMN周长最小时的位置，作出图示，充分利用对称性以及∠AOB＝30°，对线段长度进行等量转化即可． 【解析】 如图所示，过点P分别作P点关于OB，OA边的对称点P′，P″，连结PP″，PP′，P′P″，OP′，OP″，其中P′P″分别交OB，OA于点N，M，此时点M，N的位置是使得△PMN周长最小的位置． 由对称性可知，PN＝P′N，PM＝P″M，∠P′OB＝∠POB，∠POA＝∠P″OA，OP′＝OP″＝OP＝3. ∵∠POA＋∠POB＝∠AOB＝30°， ∴∠P″OA＋∠P′OB＝30°， ∴∠POA＋∠POB＋∠P″OA＋∠P′OB＝∠P′OP″＝60°， ∴△P′OP″为等边三角形， ∴P′P″＝OP′＝OP″＝3， ∴△PMN的周长＝PN＋PM＋MN＝P′N＋P″M＋MN＝P′P″＝3. 通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．经过探究我们发现一个事实：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短，即“斜大于直”的问题．这个问题在中考最值中考察较为广泛，常见的有：(1)单线段的最值；(2)两线段之和的最小值． 必备知识：垂线段的定义及基本事实． 构造思路：先找动点的运动轨迹，再过定点作此轨迹(线段)的垂线，即可找出最短的线段，然后再根据题目条件求出即可． 示例图形：(1)如图1，A是定点，动点在直线l上，过点A作l的垂线，垂足为M时，此时线段AM最小．(2)如图2，在△ABC中，M，N分别是DE，BC上的动点，连结AM，MN，求AM＋MN的最小值．过A作BC的垂线，垂足为Q，交DE于P，当M，N分别与P，Q重合时，AM＋MN有最小值，即为AQ的长度． 例3 2021·温州模拟如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，P为AB上的动点，将P绕点D逆时针旋转