中考核心微专题八 数式、图形新定义问题探究-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书配套word

2023浙江中考动态 中考高频命题要点 中考高频命题情境 案例举例 100－110分命题方向 1．数式新定义 2．图形新定义 110－120分命题方向 定义新函数并进行综合应用 1.以函数、方程、基本几何图形为命题背景 2．定义新规则、新对象后，利用已学的方程、不等式、函数和图形等性质进一步探究和应用 2022宁波14 2022嘉兴24 2021杭州10 2020宁波24 第一层　“100－110分”命题探究 数式新定义问题是指对学生没接触过的符号、运算、概念和函数等进行定义，要求学生读懂题目、理解题意，并结合所学的知识进行运算、推理的一种题型，考查其自主学习能力、阅读理解能力以及知识迁移能力． 角度1　定义新的运算 构造思路：严格按照题目所给规则进行运算，转化成已学知识点求解． 例1 2022·宁波定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝＋.若(x＋1)⊗x＝，则x的值为__－__． 思考：(1)依据题目给出的新运算规则，“(x＋1)⊗x”可以变成什么形式？ (2)等式(x＋1)⊗x＝转化为解什么方程问题？解该类方程首先需要做什么？ 思路点拨：根据新定义可得(x＋1)⊗x＝＋，由此建立方程＋＝，解分式方程即可． 【解析】 ∵a⊗b＝＋， ∴(x＋1)⊗x＝＋＝＝， 又∵(x＋1)⊗x＝，∴＝， 解得x1＝0，x2＝－. 经检验x＝－是方程＝的解． 角度2　定义新的概念 构造思路：按照定义对坐标进行变换后，观察研究对应点坐标的特点，从而寻找突破口． 例2 在平面直角坐标系xOy中，对于点P(a，b)，若点P′的坐标为(其中k为常数且k≠0)，则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为 __或__． 思考：(1)若设B(x，y)，则点A的坐标该如何表示？ (2)依据x，y满足的关系，可判断点B分布在哪条直线上？ 【解析】 设B(x，y)， ∵点A是点B的“关联点”， ∴A. ∵点A在函数y＝(x＞0)的图象上， ∴(x＋y)＝， 即x＋y＝或x＋y＝－， 当点B在直线y＝－x＋上时， 设直线y＝－x＋与x轴、y轴相交于点M，N， 则M(1，0)，N(0，)， 当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝， 由∠NMO＝60°，可得点B. 设直线y＝－x－时，同理可得点B. 变式 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点A(x，y)，我们把点B称为点A的“倒数点”．如图，若点A在函数y＝(x＞0)的图象上，且点B是点A的“倒数点”，则线段OB的最小值为 ____． 思考：(1)要求线段OB的最小值，只需搞清楚什么？结合前面的分析，可知B点分布在怎样的函数图象上？ (2)反比例函数图象上离原点最近的点坐标该如何求？ 思路点拨：由“倒数点”的定义，得点A，点B的坐标为，分析出点B在反比例函数y＝的图象上，再结合反比例函数的性质，可知离原点最近的点在直线y＝x上，从而求得OB的最小值． 【解析】 参照上题分析过程，点B在反比例函数y＝的图象上，联立y＝x与y＝，求得交点坐标为，所以线段OB的最小值为×＝. 角度3　定义新的函数(性质) 必备知识：三类函数(一次函数、二次函数、反比例函数)的图象、性质以及综合应用． 构造思路：对新定义的性质进行适当分析，转化成已知的性质进行求解，多从不同角度进行考虑． 例3 2021·杭州已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M1和M2，若存在实数m，使得M1＋M2＝0，则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2具有性质P的是(　A　) A．y1＝x2＋2x和y2＝－x－1 B．y1＝x2＋2x和y2＝－x＋1 C．y1＝－和y2＝－x－1 D．y1＝－和y2＝－x＋1 思考：(1)如何准确理解题中所说的“存在实数m，使得M1＋M2＝0”？ (2)要判断两个函数具有性质P，你有几种方法？ 思路点拨：根据题干信息“M1＋M2＝0”可知，直接令y1＋y2＝0，若方程有解，则具有性质P，若无解，则不具有性质P. 【解析】 根据题意列出方程，把所列方程转化为一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0，用根的判别式Δ＝b2－4ac判断方程是否有解．若Δ≥0，则方程有解，函数y1和y2具有性质P；若Δ<0，则方程无解，函数y1和y2不具有性质P. 令y1＋y2＝0，则x2＋2x－x－1＝0，整理得，x2＋x－1＝0，Δ＝5>0，即函数y1和y2具有性质P，A符合题意． 令y1＋y2＝0，则x2＋2x－x＋1＝0，整理得，x2＋x＋1＝0，Δ＝－3<0，即函数y1和y2不具有性质P，B不符合题意. 令y1＋y2＝0，则－－x－1＝0，整理得，x2＋x＋1＝0， Δ＝－3<0