中考核心微专题二 函数中不等关系的探究-【精彩三年】2023中考数学新问题导引一题一课教师用书配套word

2023浙江中考动态 中考高频命题要点 中考高频命题情境 案例举例 100－110分命题方向 1．单个函数中不等关系的探究 2．多个函数中不等关系的探究 3．含参函数中不等关系的探究 4．函数最值问题的探究 110－120分命题方向 1．含参函数结合分类讨论 2．在具体的情境中经历建模过程解决问题 1.结合函数的增减性求取值范围 2．实际问题中进行建模，进而运用函数增减性 2020金华23 2022嘉兴10 2022台州24 第一层　“100－110分”命题探究 必备知识： 函数图象的特征和性质． 构造思路：运用函数的增减性，结合函数图象，进而求解． 例1 已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是(　D　) A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3 思考：(1) 由题意抛物线开口向上，你能求出它的对称轴吗？ (2) 在抛物线对称轴的左右，函数的增减性一样吗？ 思路点拨：首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题． 【解析】 ∵抛物线y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－4). 当y＝0时，(x－1)2－4＝0， 解得x＝－1或x＝3， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为(－1，0)，(3，0)， ∴当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3. 必备知识：函数图象的性质． 构造思路：先确定两个函数图象交点的横坐标，结合函数图象的位置来确定不等关系． 例2 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于两点A(－2，p)，B(5，q)，则不等式ax2＋mx＋c≤n的解集是__－5≤x≤2__． 思考：不等式ax2＋mx＋c≤n可转化为哪两个函数的图象问题？ 【解析】 ∵抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－2，p)，B(5，q)两点， ∴－2m＋n＝p，5m＋n＝q， ∴抛物线y＝ax2＋c与直线y＝－mx＋n交于P(2，p)，Q(－5，q)两点， 观察函数图象可知：当－5≤x≤2时， 直线y＝－mx＋n在抛物线y＝ax2＋c的上方， ∴不等式ax2＋mx＋c≤n的解集是－5≤x≤2. 必备知识：函数的增减性和函数图象的特征． 构造思路：确定函数类型，在取值范围内根据函数增减性，进行不等关系的探究． 例3 2022·杭州滨江区模拟已知函数y＝ax2＋(2a＋1)x＋1(a为常数). (1)若a＝0，当3≤x≤4时，求y的最大值． (2)若a>0，当3≤x≤4时，y有最大值8，求a. 思考：(1)当a＝0时，原函数是什么函数？它的增减性由什么决定？ (2)当a> 0时，原函数是什么函数？它的增减性又由什么决定？ 思路点拨：(1)由题意，得y＝x＋1，根据一次函数的性质求解即可． (2)先求出抛物线对称轴为直线x＝－<0，则当3≤x≤4时，y随x增大而增大，求解即可． 解： (1)∵a＝0， ∴y＝ax2＋(2a＋1)x＋1＝x＋1. ∵k＝1>0， ∴y随x的增大而增大． ∵3≤x≤4， ∴当x＝4时，y有最大值，最大值为4＋1＝5. (2)∵抛物线的解析式为y＝ax2＋(2a＋1)x＋1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－. ∵a>0， ∴x＝－<0， ∴当3≤x≤4时，y随x的增大而增大． ∵当3≤x≤4时，y有最大值8， ∴16a＋4(2a＋1)＋1＝8， ∴a＝. 必备知识：函数的增减性． 构造思路：确定函数类型，在取值范围内根据函数增减性，进行不等关系的探究． 例4 2022·嘉兴已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为(　C　) A．1 B． C．2 D． 思考：(1)要求得c的值，只需求得哪个量即可？ (2)由“ab的最大值为9”，ab的值能否用代数式来表示？这个函数的自变量是什么？它的最值怎么表示？ 思路点拨：由点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3上，可得即得ab＝a(ak＋3)＝ka2＋3a＝k－，根据ab的最大值为9，得k＝－，即可求出c＝2. 【解析】 ∵点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3上， ∴ 由①可得ab＝a(ak＋3)＝ka2＋3a＝k－， ∵ab的最大值为9， ∴k<0，－＝9，解得k＝－， 把k＝－代入②，得4×＋3＝c，∴c＝2. 第二层　“110－120分”命题探究 例5 2020·金华如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝－(x－m)2＋4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该