秘籍06 平面向量四大定理-备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

秘籍06 平面向量四大定理 概率预测 ☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题☆☆☆☆ 考向预测 投影向量与向量的投影的区别 平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。 【题型一】 奔驰定理 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 1.设点在的内部，且，若的面积是27，则的面积为（ ） A．9 B．8 C． D．7 2.在中，为其内部一点，且满足，则和的面积比是（ ） A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3 3.在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（       ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 1．（2021·四川凉山·统考三模）如图，为内任意一点，角，，的对边分别为，，.总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题： ①若是的重心，则有； ②若成立，则是的内心； ③若，则； ④若是的外心，，，则. 则正确的命题有___________. 2．（2022·全国·模拟预测）在中，点是的重心，过点作直线分别交线段，于点，（，不与的顶点重合），则的最小值为___________. （多选）3．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G为的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线，，，，，记，，四边形BDEC的面积分别为，，，则（ ） A． B． C． D． 【题型二】 极化恒等式 基础知识： 简化：在△中，是边的中点，则. 1.已知△是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ） 2.在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，， ，则的值是________. 3.已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是A． B． C． D． 4.如图，已知正方形的边长为2，为的中点，以为圆心，为半径，作圆交于点，若为劣弧上的动点，则的最小值是____________. 1．（2023·全国·模拟预测）在边长为2的等边三角形中，为边上的动点，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．（2022春·安徽合肥·高一合肥市第六中学校联考期中）的外接圆的圆心为，满足且，，，则（    ）． A．36 B．24 C． D． 3．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知直线：与圆：交于A，B两点，Р为圆О上一点，当弦长AB最小时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型三】 等和线 等和线原理： 1.如图， 中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 2.设，，是平面内共线的三个不同的点，点是，，所在直线外任意-点，且满足，若点在线段的延长线上，则（ ） A．， B．， C． D． 3.如图，，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，，点P是圆M及其内部任意一点，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （多选）3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知，，的面积S满足，点O为的外心，满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型四】 投影向量与向量的投影 1.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为在方向上的投影. 2.投影也是一个数量，不是向量.当为锐角时投