06 导数与函数极值、最值小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1. 已知函数f(x)＝x2ex，求f(x)的极小值和极大值。 2．设函数f(x)的导函数为，函数y＝的图像的一部分如图，则(　　) A．f(x)极大值为f()，极小值为f(－) B．f(x)极大值为f(－)，极小值为f() C．f(x)极大值为f(－2)，极小值为f(2) D．f(x)极大值为f(2)，极小值为f(－2) 3．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图像有相异的三个公共点，则a的取值范围是 . 4．设a∈R,若函数y＝eax＋3x有大于零的极值点，则a的取值范围是 . 5．已知函数(k∈R)无极值。求k的值。 6．讨论函数f(x)＝x3－ax2(a∈R)单调性并判断有无极值，若有求出极值。 参考答案： 1.极小值为0，极大值为4e－2。 提示：求函数极值的步骤是①求导数及其零点；②依据导数的零点及函数的定义域列表；③由表得出结论。 回到本题，∵,令0 ，得x=0和x=-2。 -2和0将定义域(－∞，＋∞)分成三部分， 列表： x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0，＋∞) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  4e－2  0  由上表知，当x＝－2时，f(x)取得极大值为f(－2)＝4e－2，当x＝0时，f(x)取得极小值为f(0)＝0。 2．C 提示：所给的图像是函数y＝的图像的一部分， ∴x∈(0,2)时，, x∈(2,+∞)时，,∴极小值为f(2) 同理，x∈(-2，0)时，, ∴x∈(-2，0)时，, x∈(-∞，-2)时，, ∴x∈(-∞，-2)时，∴极大值为f(-2) 3． (－2,2) 提示：利用导数研究函数的单调性极值，作出y=f(x)的简图，结合图像即可。 4．a<－3 提示：∵(是复合函数)， 当a≥0时，函数无极值， 当a<0时，令得，，∴， 经检验，是极值点。(这句不能省。) 依题意，，解得，a<-3。 5．4 提示：∵ ，∴ 令得，，要使f(x)无极值，当且仅当 ∴k=4 6．提示：∵ ，∴ 令得， 当a＝0时， ,f(x)在R上单调递增，无极值。 当a>0时，列表可得，f(x)在和上单调递增；f(x)在[0，a]上单调递减。f(x)的极大值是f(0)＝0 ，f(x)的极小值是f(a)＝－a3。 当a<0时，列表可得，f(x)在和上单调递增；f(x)在[a，0]上单调递减。f(x)的极小值是f(0)＝0 ，f(x)的极大值是f(a)＝－a3。 附1： 说说求函数极值时列表的好处 在我的教学实践中经常有学生提出这样的问题“求函数极值时不列表可以不？” 我说，可以，只要你表达清楚。 那么，怎样才是表达清楚呢？它和列表有区别吗？下面以第1题为例进行解释。 1．已知函数f(x)＝x2ex，求f(x)的极小值和极大值。 先用列表的方式进行完整的表达。 ∵, ∴,令0 ，得x=0和x=-2。 -2和0将定义域(－∞，＋∞)分成三部分， 列表： x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0，＋∞) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  4e－2  0  由上表知，当x＝－2时，f(x)取得极大值为f(－2)＝4e－2，当x＝0时，f(x)取得极小值为f(0)＝0。 再用不列表的方式进行完整的表达。 ∵, ∴,令0 ，得x=0和x=-2。 函数的定义域是R，当x<-2时，,所以，函数f(x)在区间(-∞,-2)内单调递增，当-2<x<0时，,所以，函数f(x)在区间(-2,0)内单调递减，当x>0时，,所以，函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. ∴f(x)在x=-2时取得极大值,极大值是4e－2，在x=0时取得极小值，极小值是0. 最后，对二种表达进行一下对比。 很明显列表的表达直观清晰明了。不列表的好处就是省去了列表，同时要做很详细的表达，对取得的极值时是极大还是极小要重新根据相邻区间函数单调性进行判断。 个人觉得，画表格也是一种基本能力。我知道有的同学连三角尺都没有。平时需要画个坐标系，在坐标系中再画圆。就随手一画，我认为这样的同学的这种表现是不认真！ 前面说过解答极值问题的步骤是①求导数及其零点；②依据导数的零点及函数的定义域列表；③由表得出结论。这三步应该说是属于解答本题所需的基础知识。所以页眉所说“记住基础知识”其实包括了这种列表，作图的基本能力。 所以做到“记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误”是能够及格的！ 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1. 已知函数f(x)＝＋lnx，求f(x)在上的最大值和最小值。 2．已知函数