04 导数的几何意义小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1. 曲线y＝x2在点处切线的倾斜角为 2．已知函数f(x)＝ ，则＝________。 3．曲线y＝lnx和直线y=kx相切，则k＝________。 4．若曲线f(x)＝e－x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 5．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b的值为________。 6．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0。 (1)求f(x)的解析式； (2)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值。 7.曲线上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是________。 参考答案： 1. 提示：倾斜角的正切是斜率。 2． 提示：“f(x)＝”是一个常数， ∴ ∴ 3． 提示：曲线切线问题求切点是关键。即，求切点横坐标。 设切点为(x0,ln x0)，则以(x0,ln x0)为切点的切线方程是 即， 已知曲线y＝lnx和直线y=kx相切，所以，和y=kx重合。 ∴ ∴ 4． 提示：切线与直线2x－y＝0平行，说明切线斜率为2， 设切点横坐标为x0,依题意得，方程有解，即有解， ∴即，∴ a－2>0， 小心！斜率相等时两直线可能重合。 因此，当2x-y=0与曲线f(x)＝e－x＋ax相切时， 设切点横坐标为x0,依题意得， (②的依据是切点(,)和(,)的纵坐标相等)， 1 +②得，，∴,∴a=2+e 即，a=2+e时，曲线f(x)＝e－x＋ax不存在与直线2x-y=0平行的切线。 所以，实数a的取值范围是。 5．1 提示：“在交点(0，m)处有公切线”这个条件包含二个含义：①点(0，m)同时有两曲线上；②两曲线在(0，m)点处切线相同。 因此， (前二个方程是点(0，m)在曲线上，第三个方程是切线斜率相等) ∴b＝0，m＝1，a＝1 6．(1);(2)略 提示：(1)点(2，f(2))在切线上也在曲线上；在点(2，f(2)) 处切线斜率为， 即 (2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，求以P为切点的切线方程，再求面积。即可。 7. 提示：本题没有指向用导数几何意义的信息。 但是，画个图。观察图像。 当的切线与直线2x－y＋3＝0平行时， 切点到直线2x－y＋3＝0的距离最小。 (数形结合思想) 设切点为(曲线切线问题求切点是关键。即，求切点横坐标。) ∵ , ∴ ∴ ∴ 即，切点为 切点到直线2x－y＋3＝0的距离为 (点到直线Ax+By+C=0距离公式： ) 附1： “记住基础知识”很重要 对目标为及格的学生来说，做到“记住基础知识”离及格就很近了。 下面以第4题为例进行一下说明． 4．若曲线f(x)＝e－x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是 基础知识：当两条直线都有斜率时，如果两直线平行，那么斜率相等。 我们知道两直线重合时斜率也相等。所以，当两条直线都有斜率时，“两直线平行”是“斜率相等”的充分不必要条件。 本题正是因为这一点，才容易出现错误。 比如，因为直线2x－y＝0的斜率为2，切线与它平行，说明切线斜率是2，所以，存在x0使得。即有解， ∴即，∴ a－2>0， 所以，a的取值范围是（2，+∞） 这个结果是不正确的！原因是基础知识记得不准确。误将前述的充分不必要条件记成了充要条件。原因也可能是基础知识记住了，但做题时却按充要条件，也就是没有用基础知识做题。 正确的解答应该增加下面这部分： 当2x-y=0与曲线f(x)＝e－x＋ax相切时， 设切点横坐标为x0,依题意得， (②的依据是切点(,)和(,)的纵坐标相等)， ①+②得，，∴,∴a=2+e 即，a=2+e时，曲线f(x)＝e－x＋ax不存在与直线2x-y=0平行的切线。 所以，实数a的取值范围是。 所说的“记住基础知识”当然是指记忆正确。 当两条直线都有斜率时，“两直线平行”是“斜率相等”的充分不必要条件。 这个基础知识如果记成了：当两条直线都有斜率时，“两直线平行”是“斜率相等”的充要条件。就不是“记住基础知识”。因此做到 “记住基础知识”并不易。请同学相信：做不到 “记住基础知识”还想及格更不易！ 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $