秘籍18 几何体的内切，外接球问题与真题训练-备战2023年高考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍18 几何体的内切，外接球问题与真题训练 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题☆☆☆☆☆ 考向预测 热考题型 1 内切球的概念 如果一个球与简单多面体的各面或其延展部分都相切，且此球在多面体的内部，则称这个球为此多面体的内切球.例：与圆柱两底面以及每条母线都相切的球称为这个圆柱的内切球. 2 三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径. 答 等体积法 即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和与三棱锥体积相等. (可与三角形内切圆的半径类比，均可由等积法求得.) 3.求解外接球半径步骤 ① 确定球心的位置：是柱体底面所在的球体截面圆心，则平面，由于柱体和外接球组合的几何体的对称性，则线段的中点是球心; ② 算出小圆的半径，; ③ 求半径：由勾股定理可得. 一、单选题 1．（2023·山东聊城·统考模拟预测）在三棱锥中，，，，二面角的大小为．若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则当三棱锥的体积最大时，球O的体积为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知的斜边，，现将绕AB边旋转至的位置，使，则所得四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·贵州黔西·校考一模）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，，，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在菱形中，，，将绕对角线所在直线旋转至，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·陕西汉中·统考二模）三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．（2023·四川达州·统考二模）三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知三棱锥的顶点都在以PC为直径的球M的球面上，.若球M的表面积为，，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D．32 9．（2023·湖南·校联考二模）蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A，B，C，D，四面体ABCD的体积为，BD经过该鞠的中心，且，，则该鞠的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考三模）正四棱台上、下底边长为、，外接球表面积为，则正四棱台侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C．或 D．或 11．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知四棱锥的底面是矩形，高为，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·浙江·统考二模）已知等腰直角的斜边分别为上的动点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点均在球的球面上，则球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知四棱锥的底面ABCD是矩形，，，，．若四棱锥的外接球的体积为，则该球上的点到平面PAB的距离的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在三棱锥中，，平面平面ABC，，点Q为三棱锥外接球O上一动点，且点Q到平面PAC的距离的最大值为，则球O的体积为(    ) A． B． C． D． 二、填空题 15．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）在三棱锥中，平面平面，是等边三角形且，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，若球的体积为，则三棱锥体积的最大值为______. 16．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知的斜边，，现将绕边旋转到的位置，使，则所得四面体外接球的表面积为_____. 17．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________． 18．（2023·湖南常德·二模）在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，则正方体棱长为______． 19．（2023·陕西商洛·统考二模）在三