第五章 热点强化课5 数列中的构造问题-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

　　　　形如an＋1＝Aan＋B型构造问题 [例1]　(2023·山西师范大学实验中学)已知数列{an}满足2an＋1＝6an＋7，a1＝1，则an＝　________　. [解析]　由已知可得an＋1＝3an＋，设an＋1＋x＝3(an＋x)，则an＋1＝3an＋2x， 所以2x＝，可得x＝，所以an＋1＋ ＝3，且a1＋＝， 由题意可知，对任意的n∈N＋，an＋≠0，则＝3， 所以数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为3， 所以an＋＝·3n－1，因此an＝·3n－1－. [答案]　·3n－1－ [例2]　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋2； (1)求an； (2)令bn＝n(an＋2)，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)由题意知，an＋1＋2＝2(an＋2)，而a1＋2＝4， ∴{an＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，故an＋2＝4·2n－1，∴an＝2n＋1－2. (2)由(1)知，bn＝n(an＋2)＝n·2n＋1， ∴Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，则2Sn＝1×23＋2×24＋…＋(n－1)×2n＋1＋n×2n＋2， ∴－Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2＝(1－n)2n＋2－4， ∴Sn＝(n－1)2n＋2＋4. 　　 形如an＋1＝pan＋q(p，q为常数，pq≠0且p≠1)的递推式，可构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)，转化为等比数列求解．也可以与类比式an＝pan－1＋q作差，由an＋1－an＝p(an－an－1)，构造{an＋1－an}为等比数列，然后利用叠加法求通项． 　 　　 形如an＋1＝pan＋f(n)(p≠1)型构造问题 ►[命题点1]　形如an＋1＝Aan＋Bn＋C型构造问题　 [例3]　(2023·全国模拟)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋)．数列{bn}满足bn＝an－2n，则数列{bn}的通项公式为　________　. [解析]　∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n)， ∴bn＋1＝3bn，且bn＝an－2n≠0，n∈N＋，则＝3，又b1＝a1－2＝－2＝， ∴数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列． ∴bn＝·3n－1＝3n－2. [答案]bn＝3n－2 [例4]　数列{an}满足a1∈Z，an＋1＋an＝2n＋3，且其前n项和为Sn.若S13＝am，则正整数m＝(　　) A．99　　 B．103 C．107　　 D．198 [解析]　由an＋1＋an＝2n＋3，得an＋1－(n＋1)－1＝－(an－n－1)， ∴{an－n－1}为等比数列，∴an－n－1 ＝(－1)n－1(a1－2)， ∴an＝(－1)n－1(a1－2)＋n＋1， am＝(－1)m－1(a1－2)＋m＋1， ∴S13＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a12＋a13)＝a1＋2×(2＋4＋…＋12)＋3×6＝a1＋102， ①m为奇数时，a1－2＋m＋1＝a1＋102，m＝103； ②m为偶数时，－(a1－2)＋m＋1＝a1＋102，m＝2a1＋99， ∵a1∈Z，m＝2a1＋99只能为奇数，∴m为偶数时，无解， 综上所述，m＝103. [答案]　B 　　 当f(n)为一次函数类型时： 法一：设an＋An＋B＝p[an－1＋A(n－1)＋B]，通过待定系数法确定A、B的值，转化成以a1＋A＋B为首项，以p为公比的等比数列{an＋An＋B}，再利用等比数列的通项公式求出{an＋An＋B}的通项整理可得an. 法二：当f(n)的公差为d时，由递推式得：an＋1＝pan＋f(n)，an＝pan－1＋f(n－1)两式相减得：an＋1－an＝p(an－an－1)＋d，令bn＝an＋1－an，得bn＝pbn－1＋d便可求出an. ►[命题点2]　形如an＋1＝pan＋dn型构造问题　 [例5]　(2023·全国高三专题练习)已知数列{an}满足a1＝1，且an＝an－1＋n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝　______　. [解析]　∵an＝an－1＋n(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)， 即3nan－3n－1an－1＝1(n≥2)．又a1＝1,31·a1＝3， ∴数列{3nan}是以3为首项，1为公差的等差数列， ∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴数列{an}的通项公式an＝. [答案]　 [例6]　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋4n，a1＝5.求数列{an}的通项公式． [解]　因为an＋1＝3an＋4n，所以an＋1－4n＋1＝3(an－4n)，又a1－4＝1， 所以{an－4n}