第三章 第2节 利用导数研究函数的单调性-【创新教程】2024高考数学总复习大一轮教师用书word（新教材，北师大版）

第2节　利用导数研究函数的单调性 ★[课程标准] 1．了解函数的单调性与导数的关系． 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 3．能利用导数解决有关不等式、参数等问题． 1．函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导： (1)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)>0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增； (2)若在某个区间内，函数y＝f(x)的导数f′(x)＜0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减； (3)若在某个区间内， f′(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增； (4)若在某个区间内， f′(x)≤0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减． 2．求函数单调区间的步骤 (1)求定义域． (2)求导． (3)由导数大于0求单调递增区间；由导数小于0求单调递减区间． 　　 1．f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件； 2．若f(x)可导且f′(x)＝0不恒成立，则f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件． ◆[思考辨析] 　判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件．(　　) (2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．(　　) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内为常数函数．(　　) (4)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间意义不一样．(　　) [答案]　 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√ ◆[小题查验] 1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数 B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数 C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数 D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数 解析：A　[当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数，其他判断均不正确．] 2．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增(　　) A.　　　　　 B．(π，2π) C. D．(2π，3π) 解析：B　[y′＝－xsin x，经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y′>0恒成立， ∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上单调递增．] 3．已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为(　　) A．(－2,1) B．(－1,2) C．(－∞，－2) D．(1，＋∞) 解析：A　[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)， 知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2， 令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，故选A.] 4．f′(x)是f(x)在区间[a，b]的导函数，则“在区间(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在该区间内单调递增”的　________　条件． 解析：一般地，由f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，反之，则不一定．如函数f(x)＝x3在区间(－∞，＋∞)上单调递增，但是f′(x)≥0，因此f′(x)＞0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件． 答案：充分不必要 5．(忽视端点取等号致误)若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是　______　. 解析：法一：由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a. ∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)． ∵函数在[2，＋∞)上单调递增， ∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0<a≤2. 法二：y′＝1－，依题意知1－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立， ∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，又a>0， ∴0<a≤2. 答案：(0,2] 　　　 利用导数求函数的单调区间 [典例]　(1)(2023·河南月考)已知f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5，则函数f(x)的单调减区间为(　　) A．(1，＋∞)　　　 B．(ln 3，＋∞) C．(－∞，ln 3) D．(－∞，＋∞) [解析]　由题可知，f(x)＝3x2＋6x－6ex＋5， 且f(x)的定义域为R， 则f′(x)＝6x＋6－6ex＝6(x＋1－ex)， 令g(x)＝x＋1－ex，则g′(x)＝1－ex，x∈R， 当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0，当