2.2.1函数的概念（第2课时）课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件围绕函数值域的求解方法展开，从函数概念出发，通过提问导入、典例解析与同步练习层层递进，构建起“理解定义—掌握方法—应用迁移”的学习支架，帮助学生实现从具体到抽象的认知跃迁。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以分段函数值域求解为例，引导学生观察结构特征（数学眼光），运用配方法和图像法进行逻辑推理（数学思维），并用集合符号规范表达结果（数学语言）。教学中穿插数学家故事增强人文温度，设计多类型题目强化方法迁移，既提升学生的问题意识与运算能力，又助力教师高效开展差异化教学。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 函数 第2节 函数 2.1 函数的概念 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解函数的值域的定义； 2、会求函数值； 3、掌握求函数值域的方法。 1、求函数值域的方法。 1、掌握求函数值域的方法。 2 新 课 引 入 数学王子——高斯 给定实数集中的两个非空数集和，如果存在一个对应关系，使对于中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就把对应关系叫作定义在上的一个函数.记作，，其中集合叫作函数的定义域，叫作自变量，与值对应的值叫作函数值，集合叫作函数的值域. 提问1：函数的定义是什么？ 提问2： （1）右侧从A到B的对应是函数么？ （2）如果是函数，那么此函数的值域是什么？ h:求算数平方根 4 9 16 2 3 A B 5 4 函数的值域指的是所有函数值的集合，因此 {2，3，4}是这个函数的值域，而不是{2，3，4，5}。 这个对应是函数。 那么，如何求出函数的某一个函数值呢？如何求出函数的值域呢？这就是我们本节课要研究的内容。 3 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 代入法是求函数值的常用方法，如：欲求函数f(x)在x=a时的函数值，只需将f(x)中的x换成a,再经过计算，即可求得f(a)的值。 如何求单个的函数值 4 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、已知(∈R，且)，(∈R). (1)求，的值 (2)求f(2x+3)、g( ) (3)求、的值 （4）求f(g(x))、f(f(x)) 解: (1) （2）f(2x+3）= = g( )=()2+2=+2 (3). =()=()2+2= (4)f(g(x))=f()== f(f(x))=f()== 中的可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，要求对应的函数值，只需把相应的换成对应的数、字母或式子即可. 2、求f(g(x))的函数值应遵循从内向外的原则。 5 典 例 引 路 柯 西 例2、已知函数 f(x)= ，则 f[f(-2)] =（     ） A．-2 B．4 C．-8 D．8 解：f(-2)=(-2)2=4 f[f(-2)]=f(4)=2×4=8 故选 D 求分段函数的某个函数值时要注意，题目中所给的自变量的取值在哪一段定义域内，就代入哪一段的表达式。 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练2、已知函数 f(x)=，则f(5)=（      ） A．-2 B．4 C．10 D．16 练1、已知f(x)＝ (x≠－1). (1)求f(0)及f(f())的值； (2)求f(1－x)及f(f(x)). 解：(1) f(0)= = 1 f()= = f(f()) = f() = = (2) f(1-x) = = (x f(f(x)) = f() = = x (x B 练3、已知函数 f(x) = π，则 f(π2)= ( ) A . π2 B. π C. D.不确定 B 7 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 求函数值域的方法 分析法（观察法）、配方法、图像法、换元法、 判别式法、分离常数法 通过代入法，我们可以求出单个的函数值。但是，若想求出函数所有的函数值即值域，显然这种方法是不可行的，那么，求值域有哪些方法呢？ 8 典 例 引 路 牛 顿 例2、 求下列函数的值域。 （1）y=3x+2 (-1≤x≤1) (2) y=2+ 解： ∵ -1≤x≤1 ∴-3≤3x≤3 ∴-1≤3x+2≤5 即-1≤y≤5 ∴函数的值域是[-1,5] 解：∵0 ∴2+ 即y ∴函数的值域是[2.+∞) 分析法（观察法） 对于一些简单的函数，我们可以从定义域出发或者函数中的一部分出发，逐步添项求范围，直到求出表达式的范围，即为函数的值域。 9 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练4、求函数的值域。 解：， . 故的值域为[，+ꝏ）. 练5、下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1 解：A中，由x≥0得y＝ ≥0，∴值域为[0，＋∞)，A不符合； B中，由x>0由y＝ ＞0 ∴值域为(0，＋∞)，B符合； C中，由y＝ (x≠0)的图象知值域为y≠0，C不符合； D中，y＝x2＋1≥1，值域为[1，＋∞)，不符合． B 10 典 例 引 路 狄利克雷 配方法 例3、求函数y=x2-4x+6的值域. 解:通过配方得y=(x-2)2+2≥2.故函数的值域为[2,+∞). 二次函数求值域通常用配方法。 11 同 步 练 习 黎 曼 练6、求函数 y = x2-4x+6 , x∈[1,5] 的值域。 解：y=x2-4x+6 =(x-2)2+2 ∵x∈[1,5] ∴-1≤ x-2 ≤3 ∴0≤(x-2)2≤9 ∴2≤(x-2)2+2≤11 ∴2≤y≤11 ∴函数的值域为[2,9] 12 典 例 引 路 皮 亚 诺 例4、求函数y=x2-4x+6,x∈[1,5]的值域。 解:因为x∈[1,5],函数y=x2-4x+6的图象如图所示,结合图象可得函数的值域为[2,11]. 图象法 画出函数的图像，由图像观察出函数的值域。 注意最终只保留定义域上的图像。 由例3和例4可以看出，同一个表达式的函数，定义域不同，值域也会不同。因此，在求值域时一定要看定义域。 13 同 步 练 习 庞加莱 练7、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解：将函数化为分段函数：y = 画出函数的图像 由图象可知，函数的值域是[3,+∞) 14 典 例 引 路 华罗庚 换元法 例5、求函数 y=2x- 的值域。 解：令t=,则x=t2+1,且t≥0. 所以y=2(t2+1)-t=2（t- )2+,由t≥0, 再结合函数的图象, 可得函数的值域为[,+∞). 换元法并不能直接求函数的值域。它的作用是把表达式进行变换，变换成容易求值域的函数，再用其他的方法来求值域。 在用换元法的时候，一定要求出新元的范围。 15 同 步 练 习 莱布尼兹 练8、求函数 y =2x+4 的值域。 解：设 t = , 则 x = 1-t2 代入原函数得： y = 2(2-t2)+4t =-2t2+4t+2 =-2(t-1)2+4 ∵t ∴t-1 ∴(t-1)2 ∴-2(t-1)2 ≤ 0 ∴-2(t-1)2 +4 ≤ 4 ∴y≤ 4 函数的值域为（-∞，4]. 16 典 例 引 路 傅里叶 例6、求函数y= 的值域。  解:易知函数的定义域为R.由y= , 可得关于x的方程(y-2)x2+(y-2)x+y-5=0. 当y=2时,方程无解; 当y≠2时,由Δ=(y-2)2-4(y-2)(y-5)≥0, 得2<y≤6. 故函数的值域为(2,6]. 判别式法 形如 y= 的函数求值域通常用判别式法。其理论依据是，把y当做数字，则此函数就是一个有关x的方程， 整理成二次方程的形式，方程要想有解，判别式就必须大于或等于零，从而求得y的范围，即原函数的值域。 17 同 步 练 习 洛必达 练9、求函数 y = 的值域 解：∵x2+x+1=(x+)2+ ≥＞0 ∴函数的定义域为R，原式可化为： y(x2+x+1)=x2-x+1 整理得：（y-1)x2+(y+1)x+y-1=0 （1）若y=1,即2x=0,则x=0 （2）若y≠1,∵ x∈R ∴ Δ≥0 解得：≤y≤3,y≠1 综上：函数的值域是[ ，3] 18 典 例 引 路 贝叶斯 分离常数法 例7. 已知f(x)=.求函数f(x)的值域 解:f(x)==1-, 又≠0,则1-≠1. 故函数f(x)的值域是(-∞,1)∪(1,+∞). 形如y= 的函数常用分离常数法求值域，具体的做法是通过变形，把函数变形成y=e+ 的形式，再利用分析法求出函数的值域。 19 同 步 练 习 陈景润 练10、求函数 的值域。 解： 显然，所以. 故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞). 练11、函数y=(x∈R)的值域是　　　　　.  解:∵y= =1- ,， ∴所求函数的值域为[0,1). 20 典 例 引 路 分段函数值域分段求解,然后取并集 例8、求函数 f(x) = 的值域 解：当x≥0时,f(x)=x2+1≥1; 当x< 0时,f(x)=x-1<-1, 故函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪[1,+∞). 拉格朗日 21 同 步 练 习 练12、若定义 a⊙b=运算，则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域为_________． 解：根据题意， 当x≥2-x时，即x≥1时， f(x)=x⊙(2-x)=2-x，则f(x)≤1； 当x＜2-x时，即x＜1时， f(x)=x⊙(2-x)=x，则f(x)＜1. 所以，函数的值域为(-∞,1]. 故答案为：(-∞,1] 佩雷尔曼 22 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 函数 对应法则 定义域 值域 正比例函数 y=kx (k≠0) R 反比例函数 y=k/x (k≠0) {x|x≠0} 一次函数 ｙ＝kx＋b (k≠0) R 二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0） R R R {y|y≠0} 在初中，我们已经学习了四种函数，它们的值域分别是什么呢？ 23 全 课 总 结 一、如何求函数的某个函数值； 二、求函数值域的方法 1、分析法（观察法）、 2、配方法、 3、图像法、 4、换元法、 5、判别式法、 6、分离常数法 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $