秘籍14 数列求和的六种解题方法与真题训练-备战2023年高考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍14 数列求和的六种解题方法与真题训练 【目录】 题型一：公式法 题型二：做差法 题型三：裂项相消法 题型四：错位相减法 题型五：分组（并项）求和法 题型六：倒序相加法 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 必考 数列的求和 【知识点的认识】 就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括： （1）公式法： ①等差数列前n项和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝ ②等比数列前n项和公式： ③几个常用数列的求和公式： （2）错位相减法： 适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列． （3）裂项相消法： 适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即＝（）． （4）倒序相加法： 推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）． （5）分组求和法： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可． 【典型例题分析】 典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 分析：形如的求和，可使用裂项相消法如： ＝ ＝． 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， ∵a3＝7，a5+a7＝26， ∴，解得a1＝3，d＝2， ∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1； Sn＝＝n2+2n． （Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1， ∴bn＝＝＝＝， ∴Tn＝＝＝， 即数列{bn}的前n项和Tn＝． 点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和． 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考． 一、公式法 1．（2023•洪山区校级模拟）已知各项均不为零的数列{an}满足a1＝1，其前n项和记为Sn，且，n∈N*，n≥2，数列{bn}满足bn＝an+an+1，n∈N*． （1）求a2，a3，S102； （2）已知等式对1≤k≤n，k，n∈N*成立，请用该结论求数列，k＝1，2，…，n的前n项和Tn． 2．（2023•建华区校级模拟）已知等比数列{an}的公比为q（q≠1），a1＝2，2a1+a3＝3a2，等差数列{bn}的公差为﹣1，b3＝2，记min{x1，x2，…，xs} 表示x1，x2，…，x3这s个数中最小的数． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn＝min{，，，…，}，求数列{ncn}的前n项和Sn． 3．（2023•温州模拟）已知{an}是首项为1的等差数列，公差d＞0，{bn}是首项为2的等比数列，a4＝b2，a8＝b3． （1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）若数列{bn}的第m项bm，满足_____（在①②中任选一个条件），k∈N*，则将其去掉，数列{bn}剩余的各项按原顺序组成一个新的数列{cn}，求{cn}的前20项和S20． ①log4bm＝ak②bm＝3ak+1． 4．（2023•新城区校级模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝7，且a1﹣a4＝﹣7． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝an+2n﹣1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：当n≥5时，Tn≥56． 5．（2023•广陵区校级模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn＝1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＝12+log2an，设Tn＝|b1|+|b2|+…+|bn|，求Tn． 6．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝﹣180． （1）求Sn，并求Sn的最大值； （2）设数列{|an|}的前n项和为Tn，求T30． 7．（2023•上饶一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4，且Sn+2﹣2Sn+1+Sn＝2． （1）证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式； （2）若等比数列{bn}满足，b1＝1，b2+b3＝0，求数列{an⋅bn}的前2n项和T2n． 8．（2023•温江区校级模拟）数列{an}的前n项和为Sn满足，已知a1＝1． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）在①；②这两个条件中任选一个作为条件，求数列{bn}的前n项和Tn． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 二、做差法 1