秘籍13 三角恒等变换七种解题方法与真题训练-备战2023年高考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍13 三角恒等变换七种解题方法与真题训练 【目录】 题型一：两角和与差的三角函数 题型二：二倍角的三角函数 题型三：半角的三角函数 题型四：三角函数的积化和差公式 题型五：三角函数的和差化积公式 题型六：三角函数的恒等变换及化简求值 题型七：三角函数中的恒等变换应用 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 必考 一．两角和与差的三角函数 【知识点的认识】 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）＝． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝． 二．二倍角的三角函数 【二倍角的三角函数】 二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2． 二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α． 二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可． 【例题解析】 例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是　π　． 解：∵y＝sin2x+2sinxcosx ＝+sin2x ＝sin2x﹣cos2x+ ＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣） ∴其周期T＝＝π． 故答案为：π． 这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式． 【考点点评】 本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式． 三．半角的三角函数 【半角的三角函数】 半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝． 【例题解析】 例：函数的最小正周期为　π　． 解：∵ ＝ ＝sinx+tanx（1﹣cosx） ＝sinx+tanx﹣sinx ＝tanx ∴T＝π 故答案为：π 这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数． 【考点点评】 正切函数与正余弦函数之间的关系大家都比较了解，但半角的正切函数与正余弦关系也很重要，它是正切函数转化为正余弦函数的一个桥梁，所以大家一定要记住，并清楚它的推导． 四．三角函数的积化和差公式 【知识点的认识】 三角函数的积化和差公式： （1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）] cosαcosβ＝[cos（α﹣β）+cos（α+β）] （2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣β）] cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）] （3）tanαtanβ＝ tanαcotβ＝． 五．三角函数的和差化积公式 【知识点的认识】 三角函数的和差化积公式： （1）sinα+sinβ＝2sincos sinα﹣sinβ＝2cossin （2）cosα+cosβ＝2coscos cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin （3）cosα+sinα＝sin（+α）＝cos（） cosα﹣sinα＝cos（+α）＝sin（﹣α） 六．三角函数的恒等变换及化简求值 【概述】 三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性． 【公式】 ①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx ②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx ③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx， ④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx． 【例题解析】 例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于　　 解：，，，， ∴原式＝． 先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30