秘籍12 导数的应用六种解题方法与真题训练-备战2023年高考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍12 导数的应用六种解题方法与真题训练 【目录】 题型一：利用导数研究函数的单调性 题型二：函数在某点取得极值的条件 题型三：利用导数研究函数的极值 题型四：利用导数研究函数的最值 题型五：利用导数研究曲线上某点切线方程 题型六：不等式恒成立的问题 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 必考 一．利用导数研究函数的单调性 【知识点的认识】 1、导数和函数的单调性的关系： （1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间． 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤： （1）确定f（x）的定义域； （2）计算导数f′（x）； （3）求出f′（x）＝0的根； （4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间． 【典型例题分析】 题型一：导数和函数单调性的关系 典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　） A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞） 解：f（x）＞2x+4， 即f（x）﹣2x﹣4＞0， 设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4， 则g′（x）＝f′（x）﹣2， ∵对任意x∈R，f′（x）＞2， ∴对任意x∈R，g′（x）＞0， 即函数g（x）单调递增， ∵f（﹣1）＝2， ∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0， 则由g（x）＞g（﹣1）＝0得 x＞﹣1， 即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）， 故选：B 题型二：导数和函数单调性的综合应用 典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围； （Ⅲ）求证：． 解：（Ⅰ）（2分） 当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）； 当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]； 当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分） （Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3 ∴， ∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分） ∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2 ∴ 由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立， 所以有：，∴（10分） （Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2， 由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增， ∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0， ∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分） ∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1， ∴ ∴ 【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件． 二．利用导数研究函数的极值 【知识点的认识】 1、极值的定义： （1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点； （2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点． 2、极值的性质： （1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小； （2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 3、判别f（x0）是极大、极小值的方法： 若x0满足f′（x0）＝0