01 等差数列 小阶段经典题讲解+训练（基础版）-2022-2023学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1. 已知一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则该数列的公差为 2．已知点(3,5)，(7,13)是等差数列{an}图像上的两点，则an= 3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝ 4.已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为 5．已知关于x的方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则d＝________|m－n|＝________。 6．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝。 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式。 参考答案： 1.已知一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则该数列的公差为 －4 提示：注意审题即可。 2．an＝2n-1 提示：“点(3,5)，(7,13)是等差数列{an}图像上的两点”这个条件含义是a3=5，a7=13 3．6 提示：本题条件似乎不足，因为条件只有一个条件，不能确定等差数列的首项与差。但从解答过程发现，只要用首项与公差表示即可解决！ 4.12或13 提示：由“an＝26－2n”得，数列{an}是等差数列，首项为24，公差为-2。所以，数列{an}的前12项都是正数第13项为0，从第14项起每项都是负数。所以前12项和等于前13项和是数列{an}前n项和的最大值。 5．　 提示：等差数列关注首项与公差，已知首项，故设公差为d,则a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，条件 “(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根”即方程x2－2x＋m＝0的两根与方程x2－2x＋n＝0的两根，关键是方程x2－2x＋m＝0的两根之和为2，方程x2－2x＋n＝0的两根之和也是2；所以a1＋a2＋a3＋a4＝4，所以1＋6d＝4。所以d＝。因此a1＝，a4＝是一个方程的两根，a2＝，a3＝是另一个方程的两个根。所以m，n分别为，或，。故|m－n|＝。 6．(1)略；(2) an＝＋2。 提示：(1)证明一个数列是等差数列这个问题。首先要想到定义：即证明bn＋1－bn是常数或bn－bn-1是常数，结合条件，本题前者较适合。进一步求出首项与公差，及数列{bn}的通项公式。bn=. (2)由(1)的通项公式可以求出数列{an}的通项公式。an＝＋2＝＋2。 附1： “记住基础知识”很重要 对目标为及格的学生来说，做到“记住基础知识”离及格就很近了。 以下面这个例子进行一下说明。 已知一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则该数列的公差为 本题所用相关基础知识是等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d 显然a1=23，“前6项均为正数，从第7项起为负数”这个条件结合基础知识得， a6>0，a7<0.即，解得， 但是，答案是-4！这是因为题中还有一个条件是“公差为整数”所以d=-4. 忽视题中条件“公差为整数”是低级错误！请给予重视！ 看到了，“记住基础知识”很重要！ 我一直希望同学们能把数学及格这件事牢牢地掌握在自己手里！ “记住基础知识”才有希望！ 第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $记住基础知识，用基础知识做题，不犯低级错误。 练习 1.设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式为________。 2．已知等差数列{an}的前三项依次为a,4,3a，前k项和Sk＝2550，求a及k。 3．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，求 4．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，求 5.在等差数列{an}中，a1＝8，a4＝2， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn。 6.已知数列{an}的所有项均为正数，其前n项和为Sn，且Sn＝a＋an－。 (1)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式。 参考答案： 1. an＝ 提示：由条件“Sn＝n2＋1”及所求，应该想到数列前n项和与第n项的关系。 2．a＝2，k＝50。 提示：等差数列关注首项与公差，代入公式即可。 3． 提示：探究一下，是前n项和，现在需要an,是否可以想到a1+a2n-1=2an(这是关键)，于是，(这是结论：等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n-1=(2n-1)an .) ∴，∴ 4． 提示：本题是在上一题基础上改编了一下。 下面再从首项