秘籍11 函数的应用十种解题方法与真题训练-备战2023年高考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍11 函数的应用十种解题方法与真题训练 【目录】 题型一：函数的零点 题型二：函数零点的判定定理 题型三：函数的零点与方程根的关系 题型四：二分法的定义与应用 题型五：函数与方程的综合运用 题型六：函数最值的应用 题型七：分段函数的应用 题型八：根据实际问题选择函数类型 题型九：带绝对值的函数 题型十：对勾函数 概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题、填空题 解答题☆☆☆☆☆ 考向预测 必考 一、函数的零点 【函数的零点】 一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数． 【解法﹣﹣二分法】 ①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）； ④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点； ⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b） ⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4） 【总结】 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了． 例1．（2023•洪山区校级模拟）在数列{an}中给定a1，且函数f（x）＝的导函数有唯一零点，函数g（x）＝12x+且g（a1）+g（a2）+⋯+g（a9）＝18，则a5＝（　　） A． B． C． D． 【分析】求导利用函数零点定义即可求得a2﹣a1＝2，得到数列{an}是公差为2的等差数列．再利用引入辅助角公式对g（x）化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合题意进而求解即可． 【解答】解：因为f'（x）＝x2﹣an+1cosx+（an+2）有唯一的零点，f'（x）为偶函数， 则f'（0）＝0，可得an+1﹣an＝2，n∈N*，所以数列{an}为等差数列． 则a2﹣a1＝2，所以数列{an}是公差为2的等差数列． 又g（x）＝12x+sinπ（x﹣）＝12（x﹣）+sinπ（x﹣）+2， 令h（t）＝12t+sinπt，则h（t）为奇函数， 因为h'（t）＝12+πcosπt＞0，所以h（t）在R上单调递增， 由题意得[g（a1）﹣2]+[g（a2）﹣2]+…+[g（a9）﹣2]＝0，则 h（a1﹣）+h（a2﹣）+…+h（a9﹣）＝0， ∵数列{an}是公差为2的等差数列，其中a1＜a2＜…＜a9， 则a1﹣＜a2﹣＜…＜a9﹣，假设（a1﹣）+（a9﹣）＞0 因为h（t）＝12t+sinπt是奇函数且h（t）在R上单调递增，则h（x﹣）在R上单调递增， 所以（a1﹣）＞﹣（a9﹣）⇒h（a1﹣）＞﹣h（a9﹣）⇒h（a1﹣）+h（a9﹣）＞0， ∵（a1﹣）+（a9﹣）＝（a2﹣）+（a8﹣）＝（a3﹣）+（a7﹣）＝（a4﹣）+（a6﹣）＝2（a5﹣）， ∴h（a1﹣）+h（a2﹣）+…+h（a9﹣）＞0，与已知矛盾，故不成立 假设h（a1﹣）+h（a9﹣）＜0，同理可得h（a1﹣）+h（a2﹣）+…+h（a9﹣）＜0，与已知 矛盾，故不成立， 综上，（a1﹣）+（a9﹣）＝0⇒a1+a9＝，则a5＝． 故选：C． 【点评】本题考查导数的应用，考查函数的性质，考查奇偶性，单调性，属于难题． 二、函数零点的判定定理 【知识点的认识】 1、函数零点存在性定理： 一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根． 特别提醒： （1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一． （2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点． （3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点． 2、函数零点个数的判断方法： （1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 特别提醒： ①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f