第38期 数列求和-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 在高考命题中，数列求和一直是热点．一般数列的 求和问题，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求 和问题，而对于非等差（或非等比）数列的求和问题，常 用的方法有：拆项分组、倒序相加、裂项相消、错位相减 等．下面举例说明． 一、公式求和法 通过分析判断一个数列是等差数列或等比数列后， 可直接利用等差或等比数列的求和公式求和．其基本的 思维过程是：判断数列的特征，然后求出首项与公差或 公比，再代入求和公式． 例１在等比数列｛ａｎ｝（ｎ∈Ｎ＋）中，若ａ１＝１，ａ２＝ １ ２，则该数列的前１０项和Ｓ１０等于 （　　） （Ａ）２－１ ２８ 　　　　　（Ｂ）２－１ ２９ （Ｃ）２－１ ２１０ （Ｄ）２－１ ２１１ 解：设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ． 由ａ１ ＝１，ａ２ ＝ １ ２，解得ｑ＝ １ ２． 于是Ｓ１０ ＝ ａ１（１－ｑ １０） １－ｑ ＝ １－ １( )２ １０ １－１２ ＝２－１ ２９ ． 故选（Ｂ）． 二、分组求和法 如果一个数列｛ｃｎ｝的通项可以写成ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ的 形式，而数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝是等差数列或等比数列或者 是可以求和的其他数列，则可采用分组求和法． 例２求数列１１２，２ １ ４，３ １ ８，４ １ １６，…的前ｎ项和． 解：因为ａｎ＝ｎ＋ １ ２ｎ ，而数列｛ｎ｝， １ ２{ }ｎ 分别是等差 数列、等比数列，可用分组求和法． 故 １＋１( )２ ＋ ２＋１( )４ ＋ ３＋１( )８ ＋… (＋ ｎ＋１２ )ｎ ＝（１＋２＋３＋… ＋ｎ） (＋ １２＋１４＋１８＋… ＋１２ )ｎ ＝ｎ（ｎ＋１）２ ＋ １ ２ １－ １ ２( )ｎ １－１２ ＝ｎ ２＋ｎ ２ － １ ２ｎ ＋１． 三、倒序相加法 Ｓｎ表示从第１项依次到第ｎ项的和，也可表示从第ｎ 项依次到第１项的和，将两式相加，发现规律，并由此得 到Ｓｎ的方法就是倒序相加法． 例３求和： １ １２＋１０２ ＋ ２ ２ ２２＋９２ ＋ ３ ２ ３２＋８２ ＋… ＋ １０２ １０２＋１２ ． 解：由于第ｋ项与倒数第ｋ项的和为常数１，可采用 倒序相加法求和． 设Ｓ＝ １ ２ １２＋１０２ ＋ ２ ２ ２２＋９２ ＋ ３ ２ ３２＋８２ ＋…＋ １０ ２ １０２＋１２ ， 则Ｓ＝ １０ ２ １０２＋１２ ＋ ９ ２ ９２＋２２ ＋ ８ ２ ８２＋３２ ＋… ＋ １ ２ １２＋１０２ ，两 式相加得２Ｓ＝１＋１＋１＋… ＋      １１０个１ ＝１０， 故Ｓ＝５． 四、裂项相消法 将数列的通项分成两个式子的代数和，即 ａｎ ＝ ｆ（ｎ＋１）－ｆ（ｎ），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先 裂后消的求和法叫做裂项相消法．裂项相消法适用于 ｛ ｃ ａｎａｎ＋１ ｝（其中ｃ为常数）形式的数列． 例４在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ ｎ＋１＋ ２ ｎ＋１＋… ＋ ｎ ｎ＋１，又ｂｎ ＝ ２ ａｎａｎ＋１ ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和． 解：因为ａｎ ＝ １ ｎ＋１＋ ２ ｎ＋１＋… ＋ ｎ ｎ＋１＝ ｎ ２， 所以ｂｎ ＝ ２ ｎ ２· ｎ＋１ ２ ＝ ８ｎ（ｎ＋１） ＝８（１ｎ－ １ ｎ＋１）． 所以数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和 Ｓｎ ＝８［（１－ １ ２）＋（ １ ２－ １ ３）＋（ １ ３－ １ ４）＋… ＋ （ １ ｎ－ １ ｎ＋１）］＝８（１－ １ ｎ＋１）＝ ８ｎ ｎ＋１． 五、错位相减法 对于由等差、等比数列对应项的积构成的新数列， 在求其前ｎ项和时，通常采用“错位相减法”求解，其方 法是将前ｎ项和Ｓｎ乘以等比数列的公比ｑ得到ｑＳｎ，再与 Ｓｎ错位相减． 例５求数列｛ｎ ２ｎ ｝的前ｎ项和Ｓｎ． 解：Ｓｎ ＝ １ ２＋ ２ ２２ ＋３ ２３ ＋… ＋ｎ ２ｎ ， ① 由① ×１２得 １ ２Ｓｎ ＝ １ ２２ ＋２ ２３ ＋３ ２４ ＋… ＋ｎ－１ ２ｎ ＋ ｎ ２ｎ＋１ ． ② 由① －②得 １ ２Ｓｎ ＝ １ ２＋ １ ２２ ＋１ ２３ ＋… ＋１ ２ｎ － ｎ ２ｎ＋１ ＝ １ ２ １－ １( )２[ ] ｎ １－１２ － ｎ ２ｎ＋１ ＝１－ １( )２ ｎ － ｎ ２ｎ＋１ ， 所以Ｓｎ ＝２－ １( )２ ｎ－１ －ｎ ２ｎ ． 书 编者按：数列是高中数学中很重要的内容之一， 是高考的热点和重点．递推数列的通项问题具有很强 的逻辑性，是考查同学们逻辑推理和转化能力的好素 材，因此也成为了近几年高考的热点．本文针对同学 们常见递推数列问题的题型进行分析，希望对同学们 的复习有所帮助． 类型一：Ｓｎ ＝ｆ（ａｎ）        ． 这种类型一般利用 ａｎ ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ ＝ｆ（ａｎ）－ ｆ（ａｎ－１）消去Ｓｎ（ｎ≥２）或用Ｓｎ＝ｆ（Ｓｎ－Ｓｎ－１）