第36期 数列-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册同步学案（北师大版）

书 误区一：忽视式子成立的条件 例１数列｛－２ｎ２＋２９ｎ＋３｝（ｎ∈Ｎ＋）中的最大项 是 （　　） （Ａ）１０７　　（Ｂ）１０８　　（Ｃ）１０８１８　　（Ｄ）１０９ 错解：设ａｎ ＝－２ｎ ２＋２９ｎ＋３ ＝－２ｎ－２９( )４ ２ ＋１０８１８， 当ｎ＝２９４时，ａｎ取得最大值１０８ １ ８，故选（Ｃ）． 剖析：数列可以视为定义域是正整数集Ｎ＋（或它的 有限子集｛１，２，３，…，ｎ｝）的函数ａｎ＝ｆ（ｎ），可见上述解 法忽视了式子成立的条件ｎ∈Ｎ＋，产生了错解． 正解：设ａｎ ＝－２ｎ ２＋２９ｎ＋３ ＝－２ｎ－２９( )４ ２ ＋１０８１８． 因为ｎ∈Ｎ＋，由二次函数的性质知，当ｎ＝７时，ａｎ 取得最大值１０８，故选（Ｂ）． 警示：数列是一种特殊的函数，因此研究数列问题， 可以借助我们熟知的函数模型，如一次函数、二次函数 的图象、性质来求解，但应注意ｎ∈Ｎ＋． 例２已知正项数列｛ａｎ｝中ａ１＝２，当ｎ≥２时，满足 ａ２ｎ－２５＝１２ｎ（３ｎ－５），则此数列是否为等差数列？请说 明理由． 错解：因为ａ２ｎ－２５＝１２ｎ（３ｎ－５）， 所以ａ２ｎ ＝３６ｎ ２－６０ｎ＋２５＝（６ｎ－５）２， 所以ａｎ ＝６ｎ－５． 又ａｎ＋１－ａｎ＝６（ｎ＋１）－５－（６ｎ－５）＝６（常数）， 所以｛ａｎ｝为等差数列． 剖析：ａ２ｎ－２５＝１２ｎ（３ｎ－５）满足的条件为ｎ≥２， 因此错解中得到的ａｎ＝６ｎ－５是在ｎ≥２的条件下成立 的，必须再对ｎ＝１的情况进行讨论． 正解：当ｎ≥２时，同错解得到ａｎ ＝６ｎ－５， 所以ａｎ ＝ ２，ｎ＝１， ６ｎ－５，ｎ≥２{ ． 又当ｎ≥２时，ａｎ＋１－ａｎ ＝［６（ｎ＋１）－５］－（６ｎ－ ５）＝６，而ａ２－ａ１ ＝５≠６， 所以此数列不是等差数列． 误区二：忽视等差数列定义中公差为常数 例３已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝２，ａｎ－ａｎ－１＝ｎ（ｎ≥ ２，ｎ∈Ｎ＋），求ａｎ． 错解：由ａ１ ＝２，ａｎ－ａｎ－１ ＝ｎ（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ＋）， 知数列｛ａｎ｝是首项为２，公差ｄ＝ｎ的等差数列． 根据等差数列的通项公式得 ａｎ ＝２＋（ｎ－１）ｎ＝ｎ ２－ｎ＋２． 剖析：由等差数列｛ａｎ｝的定义可知，｛ａｎ｝应满足ａｎ －ａｎ－１ ＝ｄ（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ＋），且要求公差ｄ为常数．本题 中ｎ是一个变数，所以数列｛ａｎ｝不是等差数列，上述解 法出错了． 正解：ａｎ ＝ａ１＋（ａ２－ａ１）＋（ａ３－ａ２）＋… ＋（ａｎ－ ａｎ－１）＝２＋２＋３＋４＋… ＋ｎ＝２＋ （ｎ＋２）（ｎ－１） ２ ＝ １ ２ｎ ２＋１２ｎ＋１． 警示：运用等差数列知识解决问题，要先判断数列 是否为等差数列，其定义有两点要求：①ａｎ－ａｎ－１＝ｄ（ｎ ≥２，ｎ∈Ｎ＋）；②公差ｄ为常数． 误区三：忽视数列中值为零的项 例４在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ１＝２０，其前ｎ项和 为Ｓｎ，且Ｓ１０＝Ｓ１５，求当ｎ取何值时，Ｓｎ有最大值，并求出 它的最大值． 错解：由ａ１ ＝２０，Ｓ１０ ＝Ｓ１５得 １０ａ１＋４５ｄ＝１５ａ１＋１０５ｄ， 解得ｄ＝－５３，所以ａｎ ＝－ ５ ３ｎ＋ ６５ ３． 要使Ｓｎ有最大值，只需ａｎ ＞０， 即 －５３ｎ＋ ６５ ３ ＞０，解得ｎ＜１３． 又ｎ∈Ｎ＋，故当ｎ＝１２时，Ｓｎ有最大值，且Ｓ１２＝１２ ×２０－１２×１１２ × ５ ３ ＝１３０． 剖析：当ｎ＝１３时，ａ１３＝０，显然Ｓ１２＝Ｓ１３，所以上述 解法忽视了ａ１３ ＝０的情况，产生了漏解． 正解：由上知，令ａｎ ＝－ ５ ３ｎ＋ ６５ ３≥０，解得ｎ≤１３． 故当ｎ＝１２或ｎ＝１３时，Ｓｎ取得最大值，且Ｓ１２＝Ｓ１３ ＝１３０． 警示：在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ１＞０，ｄ＜０，Ｓｎ有最 大值；若ａ１ ＜０，ｄ＞０，Ｓｎ有最小值．要注意验证是否存 在ａｎ ＝０的情况． 误区四：条件转化有误 例５设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ．若数列｛２ ａ１ａｎ｝为 递减数列，则 （　　） （Ａ）ｄ＜０　　　　　　（Ｂ）ｄ＞０ （Ｃ）ａ１ｄ＜０ （Ｄ）ａ１ｄ＞０ 错解：（Ａ）要使｛２ａ１ａｎ｝为递减数列，则需保证数列 ｛ａｎ｝为递减数列，只需ｄ＜０． 剖析：错解中的条件转化不等价，要使｛２ａ１ａｎ｝为递 减数列，需使｛ａ１ａｎ｝为递减数列． 正解：（Ｃ）由｛２ａ１ａｎ｝为递减数列， 可知｛ａ１ａｎ｝也为递减数列． 又ａ１ａｎ ＝ａ ２ １＋ａ１（ｎ－１）ｄ＝ａ１ｄｎ＋ａ ２ １－ａ１ｄ， 故ａ１ｄ＜０，故选（Ｃ）． 例６已知两个等差数｛ａｎ｝：５，８，１１，…与｛ｂｎ｝：３，７， １１，…它们的项数均为１００．则它们有多少个彼此具有相 同数值的项． 错解：由已知两个等差数列的前３项，易求得它们的 通项公式分别为ａｎ＝３ｎ＋２，ｂｎ＝４ｎ－１（１≤ｎ≤１００）． 令ａｎ ＝ｂｎ，得３ｎ＋２