第39期 四个“未能”引起的错误-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １８． （１２ 分 ） 设 函 数 ｆ（ｘ） ＝ Ａｓｉｎ （３ｘ ＋ φ ） （Ａ ＞ ０ ，０ ＜ φ ＜ π ） ，当 ｘ ＝ π１２ 时 ，取 得 最 大 值 ４． （１ ） 求 ｆ（ｘ） 的 最 小 正 周 期 ； （２ ） 求 ｆ（ｘ） 的 解 析 式 ； （３ ） 若 ｆ ２３ α ＋ π ( )１２ ＝ １２５ ，求 ｃｏｓ２α 的 值 ． １９． （１２ 分 ） 设 函 数 ｆ （ｘ） ＝ ２ｃｏｓ ２ｘ ＋ 槡 ２ ３ｓｉｎ ｘｃｏｓ ｘ － １ （ｘ ∈ Ｒ ）． （１ ） 求 函 数 ｆ（ｘ） 的 最 小 正 周 期 ； （２ ） 若 ０ ＜ ｘ ＜ π３ ， 求 ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的 值 域 ． ２０． （１２ 分 ） （２０２２ 陕 西 西 安 模 拟 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ａ ＋ ｂｓｉｎ ２ｘ ＋ ｃｃｏｓ ２ｘ（ｘ ∈ Ｒ ） 的 图 象 过 点 Ａ （０ ，１ ） ，Ｂ π４ ， ( ) １ ，且 ｂ ＞ ０ ，又 ｆ（ｘ） 的 最 大 值 为 槡 ２ ２ － １． （１ ） 将 ｆ（ｘ） 写 成 含 Ａｓｉｎ （ω ｘ ＋ φ ） （ω ＞ ０ ，０ ＜ φ ＜ π ） 的 形 式 ； （２ ） 由 函 数 ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的 图 象 经 过 平 移 是 否 能 得 到 一 个 奇 函 数 ｙ ＝ ｇ （ｘ） 的 图 象 ？若 能 ，请 写 出 平 移 的 过 程 ；若 不 能 ，请 说 明 理 由 ． ２１． （１２ 分 ） （ ２０２２ 四 川 达 州 广 星 中 学 高 一 月 考 ） 设 向 量 ａ ＝ （４ｃｏｓ α ， ｓｉｎ α ） ，ｂ ＝ （ｓｉｎ β ，４ｃｏｓ β ） ，ｃ ＝ （ｃｏｓ β ， － ４ｓｉｎ β ）． （１ ） 若 ａ 与 ｂ － ２ ｃ 垂 直 ，求 ｔａｎ （α ＋ β ） 的 值 ； （２ ） 求 ｜ ｂ ＋ ｃ ｜ 的 最 大 值 ． ２２． （１２ 分 ） 已 知 ｍ ＝ （ｃｏｓ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ，２ｃｏｓ ｘ） ，ｎ ＝ （ｃｏｓ ｘ － ｓｉｎ ｘ， － ｓｉｎ ｘ）． （１ ） 求 ｆ（ｘ） ＝ ｍ · ｎ 的 最 小 正 周 期 和 单 调 递 减 区 间 ； （ ２ ） 将 函 数 ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的 图 象 向 右 平 移 π８ 个 单 位 ，再 将 所 得 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 ２ 倍 ，纵 坐 标 不 变 ， 得 到 函 数 ｙ ＝ ｇ （ｘ） 的 图 象 ． 在 △ ＡＢＣ 中 ，若 ｆ Ａ ( )２ ＝ ０ ，ｇ （Ｂ ） ＝ 槡 ２２ ，求 角 Ａ ，Ｂ． ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789)"*$%&+( 书 一、未能挖掘隐含条件而致错 例１在△ＡＢＣ中，已知ｓｉｎＡ＝ ３５，ｃｏｓＢ＝ ５ １３，求 ｃｏｓＣ的值． 错解：因为角Ａ，Ｂ为△ＡＢＣ的内角， 由题意得ｃｏｓＡ＝±４５，ｓｉｎＢ＝ １２ １３． 当ｃｏｓＡ＝ ４５时， ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ＝１６６５； 当ｃｏｓＡ＝－４５时， ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ＝５６６５． 剖析：由ｃｏｓＢ＞０知 Ｂ为锐角，由 ｓｉｎＢ＝１２１３，得 ｓｉｎＢ＞ｓｉｎＡ，可知这里隐含着条件ｂ＞ａ，即Ｂ＞Ａ，故角 Ａ应为锐角，从而ｃｏｓＡ＝ ４５． 正解：因为角Ｂ为锐角，且ｃｏｓＢ＝ ５１３， 所以ｓｉｎＢ＝１２１３． 又因为ｓｉｎＢ＞ｓｉｎＡ，所以Ｂ＞Ａ， 故角Ａ应为锐角，从而ｃｏｓＡ＝ ４５． 所以ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡｓｉｎＢ－ｃｏｓＡｃｏｓＢ＝１６６５． 例２在△ＡＢＣ中，ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝２３，ｃｏｓＢ＝－ ３ ４， 则ｃｏｓＡ的值为 ． 错解： ２槡７－３槡５ １２ 　由题意，得ｓｉｎＢ＝ １－ｃｏｓ ２ 槡 Ｂ ＝ １ (－ －３ )４槡 ２ ＝槡７４， ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝ １－ｓｉｎ２（Ａ＋Ｂ槡 ）＝ １ (－ ２ )３槡 ２ ＝槡５３， 所以ｃｏｓＡ＝ｃｏｓ［（Ａ＋Ｂ）－Ｂ］ ＝ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）ｃｏｓＢ＋ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）ｓｉｎＢ ＝槡５３ (× －３ )４ ＋２３×槡７４ ＝２槡７－３槡５１２ ． 剖析：错解忽略了隐含条件，没有注意角的范围，导 致求值错误．在解题中应挖掘出π２ ＜Ａ＋Ｂ＜π这个隐 含条件． 正解： ２槡７＋３槡５ １２ 　在△ＡＢＣ中，因为ｃｏｓＢ＝－ ３ ４ ＜０，ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ ２３， 所以 π ２ ＜Ｂ＜π， π ２ ＜Ａ＋Ｂ＜π， ｓｉｎＢ＝ １－ｃｏｓ２槡 Ｂ＝ １ (－ －３ )４槡 ２ ＝槡７４ ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）＝－ １－ｓｉｎ２（Ａ＋Ｂ槡 ）