第38期 二倍角的三角函数-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书书书 １９． （１２ 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘＯ ｙ 中 ，以 ｘ 轴 的 非 负 半 轴 为 始 边 作 两 个 锐 角 α ，β ，它 们 的 终 边 分 别 与 单 位 圆 相 交 于 Ａ ，Ｂ 两 点 ， 已 知 Ａ ，Ｂ 的 横 坐 标 分 别 为 １３ ， ２３ ，求 ｃｏｓ α２ ＋ ｓｉｎ β２ ＋ ｔａｎ α２ 的 值 ． ２０． （１２ 分 ） 设 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π ( )３ ＋ ｓｉｎ ２ｘ． （１ ） 求 函 数 ｆ（ｘ） 的 最 大 值 和 最 小 正 周 期 ； （２ ） 设 Ａ ，Ｂ ，Ｃ 为 △ ＡＢＣ 的 三 个 内 角 ，若 ｃｏｓ Ｂ ＝ １３ ，ｆ Ｃ ( )２ ＝ － １４ ，且 Ｃ 为 锐 角 ，求 ｓｉｎ Ａ． ２１． （１２ 分 ） （２０２２ 广 东 湛 江 一 中 月 考 ） 已 知 函 数 ｆ（ｘ） ＝ ２ｃｏｓ ２ ｘ２ ＋ ｓｉｎ ｘ － １． （１ ） 求 函 数 ｆ（ｘ） 的 最 小 正 周 期 和 值 域 ； （ ２ ） 若 ｘ ( ∈ π２ ， ３π)４ ，且 ｆ（ｘ） ＝ １５ ，求 ｓｉｎ ｘ 的 值 ． ２２． （１２ 分 ） 某 地 拟 在 一 个 Ｕ 形 水 面 ＰＡＢＱ （∠ Ａ ＝ ∠ Ｂ ＝ ９０°） 上 修 一 条 堤 坝 （Ｅ 在 ＡＰ 上 ， Ｎ 在 ＢＱ 上 ） ，围 成 一 个 封 闭 区 域 ＥＡＢＮ ，用 以 种 植 水 生 植 物 ．为 了 美 观 起 见 ，决 定 从 ＡＢ 上 点 Ｍ 处 分 别 向 点 Ｅ ，Ｎ 拉 ２ 条 分 隔 线 Ｍ Ｅ ， Ｍ Ｎ ，将 所 围 区 域 分 成 ３ 个 部 分 （ 如 下 图 ） ， 每 部 分 种 植 不 同 的 水 生 植 物 ． 已 知 ＡＢ ＝ ａ ，ＥＭ ＝ ＢＭ ，∠ Ｍ ＥＮ ＝ ９０°，设 所 拉 分 隔 线 总 长 度 为 ｌ． （１ ） 设 ∠ ＡＭ Ｅ ＝ ２θ ，求 用 θ 表 示 的 ｌ 的 函 数 表 达 式 ，并 写 出 定 义 域 ； （２ ） 求 ｌ 的 最 小 值 ． ! " # ! ! $ % & ' ! " # $ % & ' ( ) *+,-./0123456789!"#$%&'( *+,-./0123456789!")$%&'( 书 美国著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书写 道：“看着终点，记住你的目的，勿忘你的目标，想着你希 望得到的东西．”这句话告诉我们，在解题时，要有目标 意识，要紧扣解题目标进行有目的变形．对于三角函数 来说，更是“善变才会赢”，三角恒等变换离不开“三 变”． １．变角 在三角恒等变换中，首当其冲的变换应该是角的变 换，所有的恒等变形都应当以角的变换为前提． 例１ｓｉｎ１０°＋ｓｉｎ５０°ｓｉｎ３５°ｓｉｎ５５° 的值为 ． 分析：注意观察角可以发现：①１０°＝３０°－２０°，５０° ＝３０°＋２０°，３５°＝４５°－１０°，５５°＝４５°＋１０°，故可用 和角公式展开解决；②１０°＋５０°＝６０°，１０°－５０°＝ －４０°，３５°＋５５°＝９０°，３５°－５５°＝－２０°，且４０°＝２× ２０°，故可考虑和积互化解决． 解：原式 ＝ｓｉｎ（３０°－２０°）＋ｓｉｎ（３０°＋２０°）ｓｉｎ（４５°－１０°）ｓｉｎ（４５°＋１０°） ＝ ２ｓｉｎ３０°ｃｏｓ２０°１ ２ｃｏｓ ２１０°－１２ｓｉｎ ２１０° ＝ ｃｏｓ２０°１ ２ｃｏｓ２０° ＝２． 评注：角的变换方式很多，一定要紧盯住目标，通过 求角的和、差以出现特殊角，寻找互余、互补、半角、倍角 关系，将已知角与待求角之间发生联系，然后选择相应 的三角公式进行变形． ２．变名 在三角化简、求值、证明中，表达式里往往会出现较 多的函数名称，在此情况下常常需要化异名丽数为同名 函数，常见的转化方式有切化弦和齐次弦化切． 例２求值ｔａｎ２０°＋４ｓｉｎ２０°＝ ． 分析：待求式为２０°的正弦和正切，可切化弦后通 分，分子用二倍角公式变形后可和差化积，也可利用２０° ＝３０°－１０°，４０°＝３０°＋１０°，利用和角公式处理． 解：原式 ＝ｓｉｎ２０°＋４ｓｉｎ２０°ｃｏｓ２０°ｃｏｓ２０° ＝ｓｉｎ２０°＋２ｓｉｎ４０°ｃｏｓ２０° ＝ｓｉｎ（３０°－１０°）＋２ｓｉｎ（３０°＋１０°）ｃｏｓ２０° ＝ ３ ２ｃｏｓ１０°＋ 槡３ ２ｓｉｎ１０° ｃｏｓ２０° ＝槡３ｃｏｓ２０°ｃｏｓ２０° ＝槡３． 评注：一般地，如果一个三角表达式中出现多个三 角函数名称，则将不同的函数名称利用诱导公式或同角 的三角函数关系式等价转化为同一函数名称，从而找到 解题的切入点，是三角恒等变换的一个重要的转化方 式． ３．变结构 三角