第42期 平行关系-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册同步学案（北师大版）

书 一、直线与平面平行 １．直线与平面平行的性质定理 （１）内容：一条直线与一个平面平行，如果过该直 线的平面与此平面① ，那么该直线与交线平行． （２）符号语言：如图１，ｌ∥ α，② ，③ ｌ∥ａ． （３）作用：这个定理由“线面平行”（直线与平面平 行）得出了关于“线线平行”（直线与直线平行）的结论， 即“线线平行”是“线面平行”的必要条件．在空间中，经 常应用这条定理由“线面平行”去判断“线线平行”． （４）利用线面平行性质定理解题的步骤：确定或寻 找一条直线平行于一个平面；确定或寻找过这条直线且 与已知平面相交的平面；确定交线；由定理得出结论． ２．直线与平面平行的判定定理 （１）内容：如果平面④ 一条直线与此平面内的 一条直线平行，那么该直线与此平面平行． （２）符号语言：如图 ２，⑤ ，ａ α，且 ⑥ ｌ⑦ α． （３）作用：利用这个定 理，可以由“线线平行”判定 “线面平行”，即“线线平行” 是“线面平行”的充分条件． （４）判定直线与平面平行的常用方法： 定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助 反证法来完成； 判定定理法：在平面内找一条直线与已知直线平 行． （５）利用线面平行判定定理解题的步骤：在平面内 找到或作出一条与已知直线平行的直线；证明已知直线 在平面外；由判定定理得出结论． 二、平面与平面平行 １．平面与平面平行的性质定理 （１）内容：两个平面平行，如果另一个平面与这两 个平面① ，那么② 平行． （２）符号语言：如图３，③ ，α∩γ＝④ ， β∩γ＝⑤ ａ∥ｂ． ２．平面与平面平行的判定定理： （１）内容：如果一个平面内的⑥ 与另 一个平面平行，那么这两个平面平行． （２）符号语言：如图４，ａα，⑦ ，ａ∩ｂ＝Ａ， ⑧ ，ｂ∥βα∥β． （３）延伸：若一个平面内的两条相交直线与另一个 平面内的两条相交直线对应平行，则这两个平面平行． （４）判定平面与平面平行的常用方法 定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证 法． 判定定理法：在其中一个平面内找到或作出两条相 交直线平行于另一个平面． 注意：先找后作，找不到再作辅助线． 三、小结 １．证明线面，面面平行的方法： （１）判定定理法：只要满足判定定理的条件就可以 使用，推理模式分别是： ｌα，ｍα，ｌ∥ｍｌ∥α； ａβ，ｂβ，ａ∩ｂ＝Ｐ，ａ∥α，ｂ∥αβ∥α． （２）结论法：可通过作辅助线构造条件，常用结论 有：①平行的传递性；② 三角形中位线定理；③ 相似原 理；④判定定理的推广． （３）反证法：对于直接证明比较困难的，可采用反 证法． ２．线线平行，线面平行，面面平行之间的转化关系： （参考答案见本期） 书 １． !"#$% & １ !" １，Ｐ #$%&'( ＡＢＣＤ )*$+,-. ，Ｍ，Ｎ /0 # ＡＢ，ＰＣ 12. ． 3 ＭＮ 4$+ ＰＡＤ 56$% ？ 789:1;< ． '( ： !"#$%& ， '() *+,-./01 ． ) ：ＭＮ∥$+ＰＡＤ． 89!= ： > ＤＣ 12. Ｑ， ?@ ＭＱ，ＮＱ． A# Ｎ # ＰＣ 2. ， )B ＮＱ∥ＰＤ． A# ＰＤ$+ＰＡＤ，ＮＱ$+ＰＡＤ， )B ＮＱ∥$+ＰＡＤ． CD ＭＱ∥$+ＰＡＤ． E ＮＱ$+ＭＮＱ，ＭＱ$+ＭＮＱ， ＮＱ∩ＭＱ＝Ｑ， )B$+ ＭＮＱ∥$+ＰＡＤ． )B ＭＮ∥$+ＰＡＤ． *+ ： 23456789:;<=6,->?:; @A ， BCD:=,-6EFG ， HI@A6JKL ， ' (MNOP01Q=@A ． RS23456<TUV 9 ： "WX@AYD ， ZO0[\] ，̂ @AQ=YD ； ZO0_\] ，̂ @A`YD ． ２． ,-#$% & ２ !" ２， F*GHI& '((J1KLMNOP-Q R(STUVWX ， R( ＥＦＧＨ 1&YZ./0*HI&'( ＡＢＣＤ 1'N ， [\ ＡＣ＝ａ，ＢＤ ＝ｂ． 3 Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ *]^_` a ， VWX1VWbcd ？ '( ： abc6abdef ， gBhijk ＥＦＧＨ 6lmef ． ) ： e ＥＨ＝ｘ，ＥＦ＝ｙ． A# ＦＧ∥ＥＨ，ＥＨ$+ＡＢＤ，ＦＧ$+ＡＢＤ， )B ＦＧ∥$+ＡＢＤ． EA# ＦＧ$+ＢＣＤ，$+ＢＣＤ∩$+ＡＢＤ＝ＢＤ， )B ＦＧ∥ＢＤ． CDf8 ＥＦ∥ＨＧ∥ＡＣ， gh ＡＥ ＡＢ＝ ＥＨ ＢＤ＝ ｘ ｂ， ＢＥ ＢＡ＝ ＥＦ ＡＣ＝ ｙ ａ． ijklm ＡＥ ＡＢ＋ ＢＥ ＡＢ＝ ｘ ｂ＋ ｙ ａ ＝１．① R( ＥＦＧＨ 1+n Ｓ＝ｘｙ．② o①②mＳ＝－ａｂｘ ２＋ａｘ（０＜ｘ＜ｂ）． p ｘ＝－ ａ －２ａｂ ＝ ｂ２a，Ｓhcdq ａｂ ４，raｙ＝ ａ ２． sp