第二部分 专题突破练（6）概率、统计与数列和导数的交汇-【金版教程】2024高考数学一轮总复习首选用卷全书word（新教材）

金版教程 高考总复习首选用卷  数学 专题突破练(6)　概率、统计与数列和导数的交汇 解答题 1．在党中央的英明领导下，在全国人民的坚定支持下，中国的抗击“新型冠状肺炎”战役取得了阶段性胜利，现在摆在我们大家面前的是有序且安全的复工复产．某商场为了提振顾客的消费信心，对某中型商品实行分期付款方式销售，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列如下，其中0<a<1，0<b<1. ξ 4 5 6 P 0.4 a b (1)求购买该商品的3位顾客中，恰有1位选择分4期付款的概率； (2)商场销售一件该商品，若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为2000元；若顾客选择分5期付款，则商场获得的利润为2500元；若顾客选择分6期付款，则商场获得的利润为3000元，假设该商场销售两件该商品所获得的利润为X(单位：元)． (ⅰ)设X＝5500时的概率为m，求当m取最大值时，利润X的分布列和数学期望； (ⅱ)设某数列{xn}满足x1＝0.4，xn＝a，2xn＋1＝b，若xn<0.25对任意n≥t恒成立，求整数t的最小值． 解　(1)由于3位顾客中恰有1位选择分4期付款，则另外两位均不选择分4期付款． 所以所求概率P＝C×0.4×(1－0.4)2＝0.432. (2)(ⅰ)由题意可得X的可能取值为4000，4500，5000，5500，6000， P(X＝4000)＝0.4×0.4＝0.16， P(X＝4500)＝2×0.4×a＝0.8a， P(X＝5000)＝a2＋2×0.4×b＝a2＋0.8b， P(X＝5500)＝2ab，P(X＝6000)＝b2， 所以m＝P(X＝5500)＝2ab≤2×＝＝0.18，取最大值的条件为a＝b＝0.3， 所以X的分布列为 X 4000 4500 5000 5500 6000 P 0.16 0.24 0.33 0.18 0.09 E(X)＝4000×0.16＋4500×0.24＋5000×0.33＋5500×0.18＋6000×0.09＝4900. (ⅱ)由题意可得xn＋2xn＋1＝a＋b＝0.6， 所以xn＋1＝－xn＋0.3， 化简得xn＋1－0.2＝－(xn－0.2)，即数列{xn－0.2}是等比数列，首项为x1－0.2＝0.2，公比为－， 所以xn－0.2＝(0.4－0.2)×，化简得xn＝0.2. 由题意可知， ①b＝2xn＋1＝0.4∈(0.35，0.6)⇒－<<，解得n＝2或n>3； ②a＝xn＝0.2<0.25⇒<， 当n为偶数时，上述不等式恒成立； 当n为奇数时，<，解得n≥5. 综上所述，整数t的最小值为4. 2．为了筛查某种疾病，需要对某地区n个人的血液进行检验，如果将每个人的血液分别检验，则需要检验n次．为了减少工作量，采用一种混合检验的方法：按k个人一组进行分组，将同组k个人的血样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则说明这k个人的血液全为阴性，因而这k个人的血样只要检验一次就够了，相当于每个人检验次；如果混合血样检验的结果为阳性，则说明这k个人中至少有一个人的血液为阳性，就要对这k个人的血样再逐个检验，此时这k个人的血样总共检验了k＋1次，相当于每个人检验1＋次．假设该地区每个人血液检验为阳性的概率为p，且每个人的血液检验为阳性相互独立．现取其中k份血样，记采用混合检验的方法中每个人需要验血的次数为X. (1)求X的分布列及数学期望E(X)； (2)当p＝1－时，采用混合检验的方法可以减少工作量，求k的取值范围； (3)在第(2)问的条件下，求k为何值时检验的工作量最小． 附：ln 9≈2.20，e－≈0.47，e－≈0.61. 解　(1)由题意可知X的所有可能取值为，1＋， 且P＝(1－p)k， P＝1－(1－p)k， 所以X的分布列为 X 1＋ P (1－p)k 1－(1－p)k E(X)＝(1－p)k＋[1－(1－p)k]＝1－(1－p)k＋. (2)当p＝1－时，E(X)＝1－＋＝1－e－＋，由题意得1－e－＋<1， 所以ln k>k，即ln k－k>0. 设f(x)＝ln x－x，f′(x)＝， 所以当0<x<4时，f′(x)>0， 则f(x)在(0，4)上单调递增； 当x≥4时，f′(x)≤0(仅当x＝4时取等号)， 则f(x)在[4，＋∞)上单调递减． 又f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln >0，f(8)＝ln 8－2＝ln 8－ln e2>0， f(9)＝ln 9－≈2.20－2.25<0， 所以当2≤x≤8时，f(x)>0；当x≥9时，f(x)<0. 故ln k－k>0的解集为{2，3，4，5，6，7，8}， 所以k的取值范围是{2，3，4，5，6，7，8}． (3)由上知E(X)＝1－e－