第二部分 专题突破练（5）圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题-【金版教程】2024高考数学一轮总复习首选用卷全书word（新教材）

金版教程 高考总复习首选用卷  数学 专题突破练(5)　圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题 一、选择题 1．(2022·黑龙江市哈尔滨三中模拟)已知点P在直线y＝x－1上，点Q在曲线x2＝2y上，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　设与直线y＝x－1平行且与抛物线相切的直线为y＝x＋b，则|PQ|的最小值即为两直线间的距离，由消去y，得x2－2x－2b＝0，Δ＝4＋8b＝0，所以b＝－，进而可得直线y＝x－与直线x－y－1＝0的距离为＝.故选D. 2．(2022·辽宁沈阳三模)已知椭圆C：x2＋4y2＝m(m>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，若·的最小值为－1，则·的最大值为(　　) A．4 B．2 C. D. 答案　D 解析　设P(x0，y0)，由C：x2＋4y2＝m(m>0)可知F1，F2，∴＝，＝，∴·＝－＋x＋y＝－＋(4x＋m－x)＝－m，∵－≤x0≤，∴当x0＝0时，·的最小值为－m＝－1，解得m＝2.当x0＝±时，·的最大值为×2－1＝. 3．(2022·成都模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，又点N.若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|＋|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　) A. B．(，) C.∪(，＋∞) D．(1，)∪(，＋∞) 答案　C 解析　由双曲线的定义知|MF2|－|MF1|＝2a，所以|MF2|＝|MF1|＋2a，则|MF2|＋|MN|>4b恒成立，即|MF1|＋|MN|＋2a>4b恒成立，即|MF1|＋|MN|>4b－2a恒成立，则(|MF1|＋|MN|)min>4b－2a成立．由平面几何知识知，当MF1⊥x轴时，|MF1|＋|MN|取得最小值，所以>4b－2a，即3－8·＋4>0，解得0<<或>2.又e＝＝，所以e∈∪(，＋∞)．故选C. 4．(多选)(2022·山东德州模拟)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A，B.若圆(x－2)2＋y2＝1与双曲线C的渐近线相切，则(　　) A．双曲线C的离心率e＝ B．当点P异于顶点时，△PF1F2的内切圆的圆心总在直线x＝上 C．|PA||PB|为定值 D．|AB|的最小值为 答案　ABD 解析　对于A，双曲线的渐近线方程是x±ay＝0，圆(x－2)2＋y2＝1的圆心是(2，0)，半径是1，则＝1，解得a＝(－舍去)，又b＝1，所以c＝＝2，离心率为e＝＝＝，故A正确；对于B，设△PF1F2的内切圆与x轴相切于点M，由圆的切线性质知|F1M|－|F2M|＝2a，所以xM＝a，因此内心I在直线x＝a，即直线x＝上，故B正确；对于C，设P(x0，y0)，则－y＝1，x－3y＝3，渐近线方程是x±y＝0，则|PA|＝，|PB|＝，|PA||PB|＝＝为常数，故C错误；对于D，由已知，OA的方程是y＝x，倾斜角为，所以∠AOB＝，∠APB＝，|AB|＝ ≥＝，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立，故D正确．故选ABD. 5．(多选)(2022·河北沧州模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F与圆E：x2＋y2－2x＝0的圆心重合，直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足·＝0(其中O为坐标原点且A，B均不与O重合)，则(　　) A．x1x2＝16，y1y2＝－16 B．直线l恒过定点(4，0) C．AB中点的轨迹方程为y2＝2x－4 D．△AOB面积的最小值为16 答案　ABD 解析　圆E：x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，则E(1，0)，半径r＝1，∴抛物线的焦点为E(1，0)，∴＝1，p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x，由题可知直线l的斜率若存在，则斜率不为0，故设l的方程为x＝ty＋n，由得y2－4ty－4n＝0，则Δ＝16t2＋16n>0，即t2＋n>0，∴y1＋y2＝4t，y1y2＝－4n，则·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝n2－4n＝0，解得n＝4或n＝0(舍去，否则直线l过原点)，∴y1y2＝－16，x1x2＝＝16，故A正确；直线l的方程为x＝ty＋4，恒过定点(4，0)，故B正确；设AB的中点为M(x，y)，则y＝＝2t，x＝ty＋4＝2t2＋4，消去参数t，得y2＝2x－8，故C错误；|AB|＝|y1－y2|＝＝＝4，原点O到直线AB的距离为d＝＝，∴S△AOB＝|AB|d＝8，∴当t＝0时，S△AOB＝16为最小值，故D正确．故选ABD. 二、填空题 6．已知P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影