第二部分 专题突破练（4）立体几何的综合问题-【金版教程】2024高考数学一轮总复习首选用卷全书word（新教材）

金版教程 高考总复习首选用卷  数学 专题突破练(4)　立体几何的综合问题 一、选择题 1.海洋农牧化使人类可以像经营牧场和管理牛羊一样经营海洋和管理水生生物，从而实现海洋渔业资源利用与生态环境修复兼顾．不同的海洋牧场需要不同的鱼礁，其中一种鱼礁的形状如图所示，它是由所有棱长均为2 m的四个正四棱锥水平固定在一个平面上，且上面四个顶点相连构成的几何体框架，则这个几何体框架的体积为(　　) A. m3 B. m3 C. m3 D. m3 答案　C 解析　由题意可知，构成的几何体是一个上底面边长为2 m，下底面边长为4 m，侧棱长为2 m的正四棱台，所以该正四棱台的高为 m，则其体积为V＝h(S′＋＋S)＝×(4＋8＋16)×＝(m3)．故选C. 2．(2022·福建泉州高中毕业班质量监测五)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AA1，C1D1，A1D1的中点，则(　　) A．AC∥平面EFG B．A1C∥平面EFG C．B1C⊥平面EFG D．BD⊥平面EFG 答案　A 解析　取C1C，BC，AB的中点，分别记为H，I，J，平面EFG，即平面EGFHIJ.对于A，如图1，AC∥IJ，AC⊄平面EFG，IJ⊂平面EFG，故AC∥平面EFG，故A正确；对于B，如图2，在平面A1D1CB中，A1C∩GI＝K，故A1C∩平面EFG＝K，故B错误；对于C，D，如图3，B1D⊥平面EGFHIJ，因为过平面EGFHIJ外一点B1(D)仅能作一条垂线垂直该平面，故C，D错误． 3.(2022·湖南省长沙市雅礼中学高三下月考七)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成角的正切值为(　　) A. B. C. D．2 答案　A 解析　延长D1E与直线CD交于F，连接AF，则平面AD1E与平面ABCD的交线为AF，又C1D1∥CD，∴∠AFD为平面AD1E与平面ABCD的交线与直线C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中点，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，∴tan∠AFD＝＝.故选A. 4．(2023·广东广雅中学高三月考)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝1，AC＝，AB⊥AC，AA1＝4，则球O的表面积为(　　) A．5π B．10π C．20π D. 答案　C 解析　如图所示，因为AB＝1，AC＝，AB⊥AC，所以BC，B1C1的中点O1，O2分别为△ABC，△A1B1C1的外接圆的圆心，所以直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的球心是O1O2的中点，所以R＝＝＝，所以球O的表面积为S＝4πR2＝20π.故选C. 5.如图，已知圆锥OP的底面半径r＝，侧面积为2π，若圆锥OP的内接长方体的一个面与圆锥底面重合，则该内接长方体体积的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由底面半径r＝，侧面积为2π，侧面积S＝πrl，得l＝2，即圆锥的母线长为2，则高h＝1.设圆锥OP有一内接长方体，其中一个上顶点为E，上底面中心为O1，EO1＝r1，则PO1＝r1，OO1＝1－r1，当长方体上底面为正方形时，上底面面积最大，长方体的体积为V＝(2r1)2·，V′＝4r1－2r，当r1∈时，V′>0，当r1∈时，V′<0，故Vmax＝××＝.故选D. 6．(2023·河南焦作高三期末)已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是60°，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为(　　) A．56π B．64π C．112π D．128π 答案　C 解析　如图，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，EF是圆台轴截面的对称轴．由圆台上、下底面的面积之比为1∶4，得半径比为1∶2，设圆台上、下底面圆的半径分别为r，2r，由母线与轴的夹角是60°，母线长为2，可得圆台的高为1，r＝.设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为x.①若球心在圆台两底面之间，如图点M位置，则R2＝x2＋(2)2且R2＝(1－x)2＋()2，无解．②若圆台两底面在球心同侧，如图点O位置，则R2＝x2＋(2)2且R2＝(1＋x)2＋()2，解得x＝4，则R2＝28，所以该圆台外接球的表面积为4πR2＝112π.故选C. 7．(2022·湖北十堰4月调研)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝3，AB＝4，则四棱锥P－ABCD的外接球与内切球的表面积之比为(　　) A. B． 10 C. D．11 答案　C 解析　设四棱锥P－ABCD的外接球与内切球的半径分别为R，r，则R＝＝，因为VP－ABCD＝×42×3＝16，四棱锥P－ABCD的表面积S＝