第二部分 专题突破练（1）隐零点问题及极值点偏移问题-【金版教程】2024高考数学一轮总复习首选用卷全书word（新教材）

金版教程 高考总复习首选用卷  数学 专题突破练(1)　隐零点问题及极值点偏移问题 解答题 1．(2022·河南郑州二模)已知函数f(x)＝e·ex－＋1，g(x)＝＋2. (1)求函数g(x)的极值； (2)当x>0时，证明：f(x)≥g(x)． 解　(1)g(x)＝＋2的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝，则x∈(0，e)时，g′(x)>0，g(x)在(0，e)上单调递增，x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减， 故函数g(x)的极大值为g(e)＝＋2，无极小值． (2)证明：要证f(x)≥g(x)等价于证明xex＋1－2≥ln x＋x(x>0)，即xex＋1－ln x－x－2≥0. 令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)，则h′(x)＝(x＋1)ex＋1－＝(x＋1)， 令φ(x)＝ex＋1－，则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 而φ＝e－10<e2－10<0，φ(1)＝e2－1>0， 故φ(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈， 当x∈(0，x0)时，φ(x)<0，h′(x)<0，h(x)在(0，x0)上单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，φ(x)>0，h′(x)>0，h(x)在(x0，＋∞)上单调递增， 故h(x)min＝h(x0)＝x0ex0＋1－ln x0－x0－2，又φ(x0)＝0，即ex0＋1＝， 所以h(x0)＝－ln x0－x0－1＝(x0＋1)－x0－1＝0，从而h(x)≥h(x0)＝0， 即f(x)≥g(x)． 2．(2022·天津河东二模)已知函数f(x)＝－2ln x(a∈R且a≠0)． (1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1<x2)，且a＝e2，证明：x1＋x2>2e. 解　(1)当a＝2时，f(x)＝－2ln x， 所以f(2)＝2－2ln 2. f ′(x)＝x－，所以f ′(2)＝2－＝1. 所以曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y－(2－2ln 2)＝x－2，即y＝x－2ln 2. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－. 当a<0时，f ′(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当a>0时，f ′(x)＝－＝(x＋)(x－)，当x∈(0，)时，f′(x)<0， 所以f(x)单调递减；当x∈(，＋∞)时，f ′(x)>0，所以f(x)单调递增． (3)证明：当a＝e2时，f(x)＝－2ln x. 由(2)知， f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增． 由题意可得x1∈(0，e)，x2∈(e，＋∞)． 由f(2e)＝2－2ln 2>0及f(x2)＝0得x2∈(e，2e)． 欲证x1＋x2>2e，即证x1>2e－x2，注意到f(x)在(0，e)上单调递减，且f(x1)＝0，只要证明f(2e－x2)>0即可． 由f(x2)＝－2ln x2＝0得x＝2e2ln x2， 所以f(2e－x2)＝－2ln (2e－x2) ＝－2ln (2e－x2) ＝－2ln (2e－x2) ＝4－＋2ln x2－2ln (2e－x2)，x2∈(e，2e)， 令g(t)＝4－＋2ln t－2ln (2e－t)，t∈(e，2e)，则g′(t)＝－＋＋＝>0，则g(t)在(e，2e)上单调递增，所以g(t)>g(e)＝0，即f(2e－x2)>0. 综上，x1＋x2>2e. 3．(2022·福建莆田华侨中学模拟预测)已知函数f(x)＝exsinx＋ax. (1)若a＝1，判断f(x)在上的单调性； (2)f(x)在上有且只有2个零点，求a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝exsinx＋x，x∈， f′(x)＝exsinx＋excosx＋1＝exsin＋1. 当x∈时，x＋∈， 所以－<sin<，－1<sin<1， 又0<ex<1，故exsin>－1， 从而f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递增． (2)由函数f(x)＝exsinx＋ax，x∈，可知f(0)＝0， 则f(x)在上有且只有1个零点． f′(x)＝exsinx＋excosx＋a，令h(x)＝exsinx＋excosx＋a，则h′(x)＝2excosx≥0在上恒成立． 即f′(x)在上单调递增，f′(0)＝1＋a，f′＝e＋a. 当a≥－1时，f′(x)≥f′(0)≥0，f(x)在上单调递增， 则f(x)在上无零点，不符合题意，舍去； 当a≤－e时，f′(x)≤f′≤0，f(x)在上单调递减， 则f(x)在上无零点，不符合题意，舍去； 当－e<a<－1时，f′(0)＝1＋a<0，f′＝e＋a>0， 则f′(x)在上只有