【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练12 矩阵及应用

专题训练12 矩阵及应用 一、单选题 1．定义行列式的运算如下：，已函数以下命题正确的是（    ） ①对，都有；②若，对，总存在非零常数了，使得；③若存在直线与的图象无公共点，且使的图案位于直线两侧，此直线即称为函数的分界线.则的分界线的斜率的取值范围是；④函数的零点有无数个. A．①③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 2．已知向量，是坐标原点，若，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到，现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．关于的方程组的系数矩阵记为，且该方程组存在非零解，若存在三阶矩阵，使得，（0表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；矩阵对应的行列式为），则 （1）一定为1；      （2）一定为0；        （3）该方程组一定有无穷多解. 其中正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知函数满足：，，，数列{}的前n项和为，满足，则的值为（ ） A． B．-4 C． D．-5 5．定义，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知数列满足，则使成立的正整数的最小值为__________. 7．下列命题: ①关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的必要非充分条件; ②已知、、、是空间四点,命题甲:、、、四点不共面,命题乙:直线和不相交,则甲成立是乙成立的充分非必要条件; ③“”是“对任意的实数,恒成立”的充要条件; ④“或”是“关于的方程有且仅有一个实根”的充要条件; 其中,真命题序号是________ 三、解答题 8．已知椭圆，直线过右焦点与椭圆交于、两点，的三个顶点均在椭圆上，且为坐标原点. （1）小明在计算的面积的最大值的时候用了如下方法，其中有两处出错，请指出其中的一处错误之处，并说明原因；解答：设，，则，所以的面积的最大值为. （2）请给出题目（1）中问题的正确解答； （3）小明虽然做错了，但这种方法在计算某些题目时会比常规方法便捷些，如求证下面问题，求证：当的重心为原点时，的面积是定值. 9．设平面直角坐标系中的动点到两定点、的距离之和为，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过上的点作圆的两条切线，切点为、，直线与、轴的交点依次为异于坐标原点的点、，试求的面积的最小值； （3）过点且不垂直于坐标轴的直线交于不同的两点、，线段的垂直平分线与轴交于点，线段的中点为，是否存在，使得成立？请说明理由. 10．如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点旋转角至点． （1）试证明点的旋转坐标公式： （2）设，点绕坐标原点旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值； （3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标． 11．如图，设A是由个实数组成的n行n列的数表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的实数，且aij{1，-1}.记S(n，n)为所有这样的数表构成的集合．对于，记ri(A)为A的第i行各数之积，cj(A)为A的第j列各数之积．令 a11 a12 … a1n a21 a22 a2n … … … … an1 an2 … ann （Ⅰ）请写出一个AS(4，4)，使得l(A)=0； （Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？说明理由； （Ⅲ）给定正整数n，对于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合． 12．设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、 ，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为． （1）若，写出经过变换后得到的数阵； （2）若，，求的值； （3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过． 13．矩阵乘法运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下变换成点，记，且. （1）若平面上的点在矩阵的作用下变换成点，求点的坐标； （2）若平面上相异的两点、在矩阵的作用下，分别变换为点、，求证：若点为线段上的点，则点在的作用下的点在线段上； （3）已知△的顶点坐标为、、，且△在矩阵作用下变换成△，记△与△的面积分别为与，求的值，并写出一般情况（三角形形状一般化且变换矩阵一般化）下与的关系（不要求证明）. 14．已知阶方阵中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知. （1）求和的值； （2）计算行列式和； （3）设，证明：当是3的倍数时，能被21整除. 15．设二阶方矩阵，则矩阵所对应的矩阵变换为：，其意义是把点变换为点，矩阵叫