【从高考到强基】高中数学强基计划专题训练06 不等式

专题训练06 不等式 一、单选题 1．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．已知函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于点对称.若实数a，b满足，则当时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上均不正确 二、多选题 5．若实数，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．已知对任意成立，则不超过的最大整数是______． 7．对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________. 8．用表示中的最大值，已知实数满足，设，则M的最小值为___________. 9．设实数且满足，则使不等式恒成立的的最大值为______________________ 四、解答题 10．设正实数a、b、c满足：，求证：对于整数，有． 11．已知P为内部或边上一点，P到三边的距离分别为PD，PE，PF，证明：． 12．证明恒等式． 13．设a、b、c为正数，且．对任意整数，证明：． 14．若对任意正实数恒成立，求实数的最大值. 15．设实数满足，求的最小值. 16．求最大的实数，使得不等式对任意正整数以及任意实数均成立. 17．定义函数的所有零点构成严格单调增数列. （1）求证:; （2）若对任意的存在负数使得方程有两个不等实解与,并且满足,试证明:. 18．已知正数满足，求的最小值. 19．已知x、y、z.证明， 并指出等号成立的条件. 20．若、、，且满足，证明：，其中“”表示轮换对称和． 21．已知定义在上的函数有，且对于任意的都有，求证：对于大于1的有理数，及实数，有． 22．已知正实数、、满足．证明：对任意正实数、、，有． 23．已知互异的正实数、、、满足. 证明：从、、、中任取三个数作为边长，共可构成四个不同的三角形. 24．定义区间的长度均为,其中 (1)若函数的定义域为值域为写出区间长度的最大值； (2)若关于的不等式组的解集构成的各区间长度和为6,求实数的取值范围； (3)已知求证:关于的不等式的解集构成的各区间的长度和为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练06 不等式 一、单选题 1．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵，若，随机变量所有可能的取值为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数的运算和作差法，随机变量的创新应用即可判断. 【详解】依题意知，，，，…，， ∴， 又， ∴，又，，…，， ∴，∴. 故选：D. 2．设，，若三个数，，能组成一个三角形的三条边长，则实数m的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，可令，判断可得，可得，化为，结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成立思想，即可得到所求范围． 【详解】，， 令，，， ， ， ， ，y，z能组成一个三角形的三条边长， 可得， 即为， 设，可得，可令， 即有， 即为， 由， 当且仅当上式取得等号，但，可得， 则，即； 又设，可得， 由的导数为， 由可得，即函数y为增函数， 可得， 即有，即有， 可得， 故选C． 【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题，关键是转化为关于的函数求最值. 3．已知函数满足：①对任意，都有；②函数的图象关于点对称.若实数a，b满足，则当时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数满足的①②条件得函数在上单调递减，再根据单调性得，解不等式得，再结合线性规划的知识解决即可. 【详解】由对任意，都有，可得，在上单调递减；由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于原点对称，可得函数为奇函数；故在上单调递减. 于是得，∴，∴，∴.则当时，令，，则问题等价于点满足区域，如图阴影部分，由线性规划知识可知为与连线的斜率，由图可得，∴.故选B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性，线性规划等，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题. 4．设，若对任意的正实数，都存在以为三边长的三角形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上均不正确 【答案】A 【分析】先得到，由三角形三边关系得到，即，变形得到，分析得到和的单调性，求出，，从而得到实数的取值范围. 【详解】因为， 所以， ， 恒成立， 即， ， 令，当