第6章 6.3 球的表面积和体积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

6．3　球的表面积和体积 1．球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的 ，被不经过球心的平面截得的圆称为球的 ． 大圆 小圆 1．球的截面形状 (1)当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此时球的截面就是球的大圆； (2)当截面不过球心时，截面的半径小于球的半径，此时球的截面就是球的小圆． 2．球的截面的性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2．球的切线 (1)当直线与球有 时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的 ． (2)过球外一点的所有切线的切线长都 ，这些切点的集合是一个 ，该圆面及所有切线围成了一个 ． 唯一交点 切点 相等 圆 圆锥 1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为 (　　) A．2π　　　　　 B．4π C．8π D．16π 解析：∵球的直径为2，∴球的半径为1，∴球的表面积S＝4πR2＝4π. 答案：B　 2．已知某球球心到其截面的距离为3，球的半径为5，则截面面积为________． 3．用一个平面截半径为25 cm的球，截面面积是225π cm2，则球心到截面的距离为________cm. 4．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为__________． 计算与球有关问题的三个关键 (1)求球的体积或表面积时，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． (3)对于有关球的切、接问题，先要认真分析条件，明确切点或接点的位置；然后正确抽象出其截面图，再分析相关元素间的数量关系进行求解．　　 2．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积． [典例]　过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面， 截面面积是48π cm2，求球的表面积． (1)与球有关的组合体问题分为两种类型，一种是内切，一种是外接．例如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． (2)求空间多面体的外接球半径的常用方法 ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可．　　 [对点训练] 1．棱长为4的正方体的内切球的表面积为 (　　) A．4π B．12π C．16π D．20π 解析：设内切球的半径为r，由球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径，得2r＝4，r＝2，故内切球的表面积为S＝4πr2＝16π. 答案：C　 一、在典题训练中内化学科素养 球的表面积与体积问题作为高考的基础性要求，在近几年的全国卷中越发凸显，考查频率比较高，主要考查球的切、接问题以及球的表面积和体积问题，体现数学运算和直观想象的素养． 1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为(　　) A．64π　　　　　　　　 B．48π C．36π D．32π 3．(2020·全国卷Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 内化素养 数学运算 利用空间几何体面积、体积公式及勾股定理求几何体的体积 直观想象 在空间柱、锥体与球的关系研究中实现对空间几何体结构的认识 注重实践应用 3.圆柱形玻璃容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半 径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球 的半径是________cm. 体察数学文化 5．古希腊数学家阿基米德在《论球和圆柱》中，运用穷竭法证明了与球的面积和体积相关的公式．其中包括他最得意的发现——“圆柱容球”．设圆柱的高为2，且圆柱以球的大圆(球大圆为过球心的平面和球面的交线)为底，以球的直径为高．则球的表面积与圆柱的体积之比为 (　　) A．4∶3　　 B．3∶2　　　C．2∶1　　　D．8∶3 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(五十)” (单击进入电子文档) 39 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解球的表面积和体积公式． 2