第6章 6.2 柱、锥、台的体积（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

6.2　柱、锥、台的体积 柱体、锥体、台体的体积公式 名称 体积(V)公式 备注 柱体 棱柱 V＝___ h为棱柱的高， S为棱柱的底面面积 圆柱 V＝ ＝Sh r为圆柱的底面半径， h为圆柱的高， S为圆柱的底面面积 Sh πr2h 柱、锥、台体的体积公式之间的关系 柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此柱体、锥体可以看作是“特殊”的台体．当S上＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式，当S上＝S下＝S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此柱体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的“特殊”形式． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等． (　　) (2)在三棱锥PABC中，VPABC＝VAPBC＝VBPAC＝VCPAB. (　　) (3)锥体的体积等于底面积与高的乘积． (　　) (4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． (　　) (5)如果一个柱体与一个锥体底面积相等，则它们的体积比为3∶1.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是________． 3．若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm的正方形，则圆柱的体积为________cm3. 求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高．棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长．具体问题中要能准确应用“底面”“高”的定义去求解相关量．　　 [对点训练] 1．在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________． 2.把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积． (1)锥体的体积公式V＝ Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥． (2)三棱锥的体积求解具有灵活性，因为三棱锥的任何一个面都可以作为底面，所以常常需要根据题目条件对其顶点和底面进行转换，使得转换后，该三棱锥的底面的面积易求、可求，高易求、可求，这一方法叫作等体积法． (3)有些柱体还可以利用分割法或补形法进行求解．无论分割法还是补形法都是要将所给的几何体分割成或补成易求解的几何体，体现了间接思维模式和化归的数学思想．　　 [典例]　正四棱台两底面边长分别为 20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积． [对点训练] 如图所示，已知圆台的高为3，在轴截面A1ABB1中母线AA1与底 面圆的直径AB的夹角为60°，AA1⊥A1B，求圆台的体积． [典例]　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． 求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．　　 2.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1 -ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比． 一、在典题训练中内化学科素养 求空间几何体的体积一直是高考中的重点考查内容，只要找到底面积和高，套用公式求解即可，难度中等．注意牢记柱、锥、台体的体积公式，有时要运用多面体的截面及旋转体的轴截面进行相关量的计算，注重对数学运算素养的考查． 2．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制 作模型．如图，该模型为长方体ABCD -A1B1C1D1挖去四棱 锥O -EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E， F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 内化素养 直观想象 聚焦空间几何体的关系，实现对空间几何体结构的认识 数学运算 空间几何体体积公式的应用 2．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________． 4．一块边长为a cm的正方形铁片按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥(底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面的中心的四棱锥)形容器(如图2)．设所裁等腰三角形的底边边长为x cm，试建立容器的体积V与x的函数关系式，并求出函数的定义域． 体察数学文